UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 21

DIA 21 DE MARZO

La serie de Fibonacci aparece también en la genealogía de ciertas especies. Es el caso de los machos o zánganos de una colmena. La clave está en que las abejas hembras de la colmena nacen de los huevos fertilizados (tienen padre y madre), mientras los machos o zánganos nacen a partir de huevos no fertilizados, o lo que es lo mismo, sólo tienen madre. De esta forma, sus árboles genealógicos siguen estrictamente una distribución de Fibonacci: un macho (1) no tiene padre, sino una madre (1,1), dos abuelos - padres de la reina - (1,1,2), tres bisabuelos - porque el padre de la reina sólo tiene madre - (1,1,2,3), cinco tatarabuelos (1,1,2,3,5), etc.

CONTINUACION...

Les muestro un resumen de las proporciones para las siguientes dos bases tradicionales del origami japonés:

Diego Quevedo se quedó absorto por la magnificencia de la sabiduría que brotó de aquel manuscrito. Una matemática clara, útil y por supuesto eficiente. Diego volvió a ver su CP y se sintió heredero de grandes y antiguas tradiciones. Su pasión quedó doblemente afirmada: el ancestral origami de la cultura oriental y la maravilla de los conceptos matemáticos de la cultura occidental contenidos en su CP y entendió que la diversidad de las culturas humanas es realmente un bien en si mismo. Todo suma, nada resta se dijo.

En la tranquilidad de su apartamento, Diego procedió a doblar una vez más su modelo y nos envió una hermosa postal de su modelo de origami así como otros materiales de utilidad. El material recibido en nuestra Oficina de Redacción lo mostramos amablemente a nuestros lectores a continuación:

CONSIDERACIONES FINALES

Estimados lectores:

Se que ha sido arduo el camino recorrido, pero las ventajas en el aprendizaje de los conceptos matemáticos que se relacionan con la resolución de CPs son extremadamente grandes. Deseo indicarles tres cosas importantes:

1. Dado que no existe (o no ha llegado a mis manos) una historia oficial del origami construida con todo el rigor científico, no existe tampoco criterios unificados sobre si la cultura mozárabe del sur de España y norte de Africa conoció, de alguna manera, los procedimientos del origami japonés. Engel en su libro "Origami. From Angelfish to Zen" indica que tal encuentro cultural si existió. En cambio David Lister dice: "Yet sadly, although we know plenty about Islamic paper making, we know nothing whatsoever about Arab and Moorish paper folding. Now it may be that more information may come to light in the future, but until it does, we are not entitled to say that the Arabs or the Moors practised paper folding or that they brought it with them to Spain. Any statement to the contrary is mere conjecture and not fact". La última frase es contundente: "cualquier afirmación sobre lo contrario ( sobre si los moros o los árabes doblaron papel) es meramente una conjetura y no un hecho". Incluso señala que dado que Engel menciona sus fuentes de información, se puede ver de donde heredó el error de sus afirmaciones. Espero que algún día un erudito de la historia, tal como Robert Lang con la matemática computacional, elaboré una historia certera del Origami y que logre obtener buenas bases para sus afirmaciones. De lo contrario, que la historia juzgue a los Reyes Católicos por la expulsión de los moros de España y a la Segunda Guerra Mundial por la destrucción de las antiguas tradiciones japonesas. Falta decir, como bien dice Lister, toda la web está inundada del mismo error.

2. El presente estudio se basó en la excelente página web del origamista japonés Yama y en particular las siguientes dos páginas:

http://origamiyama.hp.infoseek.co.jp/hiritu-00.htm http://origamiyama.hp.infoseek.co.jp/hiritu-01.htm

En la primera de las páginas se establecen los teoremas, sin embargo, y eso afectó muchísimo mi entendimiento matemático de estas páginas, no aparece el teorema de Thales (o de la paralela). Teniendo en mente los tres teoremas, es sumamente fácil y útil el entendimiento de la siguiente página. Esta página es una colección de muchas de las referencias que han utilizado los grandes origamistas para sus modelos y contiene una gran riqueza de información que se puede utilizar tanto para la creación de nuevos modelos de origami como para la resolución de CP. En Un Manuscrito Sorprendente hemos analizado profundamente y a conciencia la primera fila que contiene las referencias de las bases tradicionales: base cometa y base pez. La base pez, la resuelve Yama directamente del corolario, lo cual es más fácil; sin embargo, yo he querido seguir el camino más largo, utilizando los dos teoremas, el de la bisectriz y el de Thales, para que entonces, resulte más clara la resolución de las siguientes filas. En las futuras entradas de este blog, volveremos constantemente a esta importante página.

3. Felicito a todos los que lograron determinar que el día 21 de marzo sería la publicación de la última parte de esta entrada. Como ya sabrán la entrada de UN MANUSCRITO SORPRENDENTE fue entregada siguiendo la siguiente serie de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 y 21. Esta serie matemática recibe el nombre de Serie de Fibonacci (NOTA: para los amantes de las matemáticas más profundas favor ver el ADDENDUM abajo). Estrictamente la serie comienza con el número 0, pero no supe como incluirlo dentro de las fechas. Una importantísima particularidad es que el límite al infinito de la división de dos números consecutivos de Fibonacci es el número áureo, el cual es considerado desde hace mucho como la proporción perfecta de las cosas:

y el número áureo es

Los invito a visitar una excelente página web sobre estos aspectos relacionados con la naturaleza que me refirió Carlos Luna donde incluso se puede elaborar la representación gráfica de los rectángulos áureos que a su vez generan la Espiral de Durero. En Origami el uso de la razón áurea se puede ver, por ejemplo, en el doblado del Pentágono óptimo. Bueno, estimados lectores, hemos llegado al final de UN MANUSCRITO SORPRENDENTE y para finalizar los dejo con esta foto un enjambre de Abejas Doradas de Diego en la que cada una ha sido doblada en un papel que aumenta su tamaño de acuerdo a la serie de Fibonacci:

Aquellas personas que desee una copia de UN MANUSCRITO SORPRENDENTE en formato pdf me pueden escribir a eric@internetelfaro.com. Además les agradecería profundamente me den sus comentarios sobre que les ha parecido esta extensa entrada del mes de marzo.

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal V.

Asociación Costarricense de Origami

ADDENDUM: Don Oscar Rojas, de la Asociación Costarricense de Origami y creador de la famosa Garza Real, señaló que el último día de la publicación es el 31 de marzo. Para su razonamiento, no utilizó la serie de Fibonacci sino un renombrado teorema de polinomios de la teoría de aproximaciones (Tchebycheff): siempre es posible generar un polinomio cuya gráfica pase exactamente por un número finito de puntos. "Entonces pude haber escogido cualquier otra solución y encontrar el polinomio respectivo" nos enseña don Oscar. La solución encontrada por don Oscar es la siguiente:

"La secuencia responde a este curioso polinomio que desarrollé:

P(n)=A1*n^8+A2*n^7+...+A8*n+A9

En donde los coeficientes son:

A1= 0,000248015873016093

A2= -0,010515873015880300

A3= 0,186805555555638000

A4= -1,806944444444820000

A5= 10,352430555555500000

A6= -35,661111111104500000

A7= 71,460515872992500000

A8= -74,521428571397400000

A9= 31,000000000000000000

Coincidencialmente P(n) genera valores idénticos a la serie de Fibonacci para valores enteros de n desde 1 hasta 8, pero P(9)=31... y esa es la trampa matemática oculta. Los resultados son exactos hasta 7 decimales. "

Agradezco a don Oscar por esta solución y por supuesto que se ganó el CP del Pudu de Elerth.

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 13

DIA 13 DE MARZO

Desde hace varios siglos,

los científicos saben que las abejas

les cuentan a sus compañeras los descubrimientos

que hacen fuera de la colmena.

En las últimas décadas los investigadores

descifraron muchos de los enigmas

relativos a la comunicación de estos insectos.

Cuando una abeja encuentra una fuente de alimento

vuelve a la colmena y les pasa el chisme

a sus congéneres por medio de un baile frenético.

Ileana Lotersztain

CONTINUACIÓN ...

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UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 5
UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 8

Las interrogantes que habíamos planteado en la entrada anterior son resueltas por los sabios en el Manuscrito a través del estudio de la base del pez. Volvamos con ellos y analicemos profundamente sus procedimientos:

F) PROPORCIONES EN LA BASE PEZ

Para la determinación de las proporciones de la base pez se parte, no ya de un cuadrado de lados unitarios, sino de un cuadrado de lado ( aunque sabiendo de antemano que si marcamos la línea de la base cometa sabremos donde quedará cada segmento de recta). Para este cuadrado, ¿cuánto medirá la diagonal?

FIG. 1

Se muestra tanto el procedimiento analítico como aquel utilizando las técnicas del origami. Si se aplica el teorema de Pitágoras se obtendrá:

La otra forma consiste en doblar el lado sobre la diagonal y considerar la siguiente figura, donde se ha marcado en amarillo el triángulo isósceles y rectángulo superior:

FIG.2

por lo tanto, se realiza una suma simple:

(Diego Quevedo prosiguió asombrándose de la facilidad con que muchas cosas de las matemáticas quedan resueltas mediante el uso del origami y se prometió a si mismo a desarrollar un proyecto de análisis de los aspectos matemáticos básicos utilizando el origami con los estudiantes de la Carrera de Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad de Bogotá.)

Por lo tanto, el siguiente es el cuadrado que se utilizará para el análisis de las proporciones de la base pez:

FIG. 3

Una vez marcada la línea de la base cometa y sus proporciones, se procede a marcar la otra bisectriz:

FIG. 4

Ahora la atención debe centrarse en el triángulo ABC marcado ( FIG. 5). Como se observa, dos de los lados de este triángulo miden BC= y AB = ; además, la bisectriz BD (línea en azul) del ángulo de 45º que forman estos dos lados, corta al otro lado CA en dos segmentos CD = X y DA = Y :

FIG. 5

Entonces si se aplica el Teorema de la bisectriz del ángulo , se obtendrá el resultado mostrado a continuación:

FIG. 6

Seguidamente la atención debe dirigirse al siguiente triángulo ABC de la FIG. 7. En él se ha marcado con azul un segmento de recta DE que es paralelo al lado BC y que divide los otros dos lados AB y CA en dos pares de segmentos: los segmentos AD = y DB = y los segmentos CE = X y EA = Y, tal como se muestra a continuación:

FIG. 7

El paso siguiente consiste en aplicar el Teorema de Thales (de la paralela), para el cual se obtendría el siguiente resultado:

FIG. 8

Aplicando un poco más de matemáticas, se obtiene un valor más adecuado de las proporciones al convertir uno en un valor unitario; para ello basta con multiplicar en ambos términos por raíz de dos medios:

El siguiente diagrama muestra las proporciones de la base pez:

FIG. 9

Finalmente, se pudo haber sacado la misma conclusión de una manera más directa al aplicar el Corolario. Para ello se debe rotar un poco el diagrama y considerar los siguientes triángulos ABC y BCD ( FIG. 10) que comparten el mismo lado BC. El segmento EF es perpendicular al lado BC y lo divide en dos segmentos BF = X y FC = Y, entonces aplicando el corolario obtenemos :

FIG. 10

Bueno, estimados lectores, aquí termina el Manuscrito sorprendente. Los sabios no colocan ninguna conclusión, ni últimas palabras. Más pareciera que su deseo es dejarnos en una contemplación de sus estudios para que los asimilemos adecuadamente.

Pero quedan aún algunas interrogantes por comprender: a decir verdad, ¿qué será todo ese asunto de las abejas?, ¿cómo se resolverá el enigma de las fechas? Todo será revelado el día final de la publicación, que es el ... de marzo del 2007.

CONTINUARÁ...

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 8

DIA 8 DE MARZO

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UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 5

En la publicación anterior quedamos en una breve explicación sobre el concepto de proporciones y advertimos que la misma no pertenecía propiamente al manuscrito pues pareciera que los sabios lo consideraron como obvio. Hoy, volvemos a fijarnos en el documento:

D) SOBRE LAS PROPORCIONES EUCLIDIANAS

Los sabios entresacan del libro Los Elementos de Euclides aquellos teoremas que utilizarán más adelante. Estos teoremas se encuentran en el libro sexto que trata precisamente del tema de las proporciones. Veámoslos tal y como están expuestos en el opúsculo:

TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ANGULO

En un triángulo cualquiera, la bisectriz de uno de los ángulos corta al lado opuesto a ese ángulo en dos segmentos que son proporcionales a los lados adyacentes correspondientes

TEOREMA DE LA PARALELA A UNO DE LOS LADOS

Si una recta corta a un triángulo y es paralela a uno de los lados del mismos, entonces los segmentos de un lado guardan la misma proporción que los segmentos del otro lado.

Este es realmente el Teorema de Thales de Mileto, tal y como nos lo indican los sabios.

COROLARIO

Si dos triángulos rectángulos...las hipotenusas se cruzan en un punto...que un segmento de recta corta perpendicularmente....

Lastimosamente, las frases anteriores fueron las únicas que se pudieron reconstruir. En este punto, el manuscrito está sumamente deteriorado. Por dicha, uniendo muchísimos pedacitos se logró reconstruir, al menos, el dibujo del corolario.

Pues bien, estos son los tres elementos matemáticos que los sabios utilizarán para analizar las marcas dejadas en el papel por el proceso de doblado; y sin más preámbulo veamos su estudio de la base cometa.


E) PROPORCIONES EN LA BASE COMETA

Los sabios parten de un cuadrado de lados unitarios y con la diagonal trazada calculan, utilizando el teorema de Pitágoras el valor de la misma:

Ahora, nos fijamos exclusivamente en uno de los triángulos isósceles y rectángulos que quedan a ambos lados de la diagonal. Hemos marcado con rojo dos de los lados del triángulo y que forman un ángulo de 45º. El triángulo está conformado por dos lados unitarios y un lado de valor raíz de 2. Realizamos una bisección del ángulo de 45º , tal como se realiza para formar la base cometa, generando dos ángulos de 22.5º. Veamos:

Esta bisectriz corta a uno de los lados unitarios en dos segmentos X y Y . Nos preguntamos, entonces, ¿en qué proporción están estos segmentos?

Para responder esta pregunta aplicamos el teorema de la bisectriz. Entonces:

O sea, el segmento X es proporcional a 1 tal como el segmento Y es proporcional a raíz de 2. Y los segmentos entre sí tendrán esta misma proporción 1 a raíz de 2. Si tenemos un cuadrado cuyo lado mida entonces, al trazar la línea de la base cometa sabremos cual segmento mide 1 y cual mide raíz de dos en las proporciones mínimas.

Las siguientes interrogantes, por lo tanto, serán:
Para un cuadrado cuyos lados miden , ¿cuánto medirá la diagonal? ¿Cómo afectará esto a las proporciones en la base pez? Los sabios nos darán la pauta a seguir.

CONTINUARA...

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 5

DIA 5 DE MARZO

La abeja reina no abandona la colmena,
salvo durante los vuelos de fecundación,

o cuando se produce un enjambre para

dar lugar a una nueva colonia.

La reina deposita sus huevos,

en panales de cera que las obreras

construyen con celdas hexagonales.

WIKIPEDIA

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En el tercer día de esta publicación, quedamos en que los sabios pasaron muchos días en profundas discusiones matemáticas. Analizaban algunos teoremas y su relación con las marcas dejadas por el proceso de doblado en el papel. Dijimos que, en la tercera parte del manuscrito, Averroes hace un análisis del Incentro. Pero, ¿qué es el incentro?

C)TRIANGULOS Y BISECTRICES

En el libro IV de Los Elementos, Euclides establece un elemento matemático de gran importancia y relacionado con los triángulos: para cualquier triángulo, las bisectrices de los tres ángulos se cruzan en un solo punto dentro del triángulo. Ese punto se llama Incentro. Veámoslo para dos tipos cualesquiera de triángulos:

Loss dibujos anteriores son entresacados del manuscrito. Averroes explica que al incentro, aplicado a la técnica de doblado de papel, él ha decidido denominarlo con la letra epsilon del alfabeto griego en honor a Euclides.

A continuación se muestra, en el documento, la base pez del origami japonés y los sabios analizan, con gran acierto, como las líneas que conforman esta base, y para cada uno de los triángulos isósceles y rectángulos con que el papel cuadrado queda dividido por la diagonal, son bisectrices de los ángulos y se encuentran en un solo punto. De esta manera comprueban el teorema de Euclides.

Por lo tanto, pensó Diego, la base pez es una comprobación bastante práctica y visual de este teorema euclidiano. ¿Por qué los profesores matemáticos no utilizarán más las técnicas del origami para la enseñanza? ¡Qué útil conclusión la de esta parte del opúsculo!. En el Origami actual, los nodos euclidianos aparecen en casi todos los CPS y hay que aprender a identificarlos dentro del proceso de resolución.

CUARTA PISTA

IDENTIFICAR LOS NODOS EUCLIDIANOS

(Recordemos que las otras pistas se encuentran en PAPELES EN TENSIÓN). Otro aspecto importante, siguió pensando Diego, es que todos sabemos el procedimiento de doblado para obtener los nodos euclidianos, a saber, el denominado doblado de oreja de conejo o "rabbit ear fold".

Mientras revisaba el documento, Diego pensaba en la fina intuición de la bibliotecaria; puesto que, en medio de la complejidad de rayos y nodos de su CP pudo percatarse de las líneas marcadas de la base pez y relacionarla con el documento. De seguro ella sería una excelente "resolvedora" de CPs, meditó y se sonrió.

Veamos nuevamente el CP de Diego y preguntémonos, estimados lectores, ¿cuántos nodos euclidianos hay en él?:

D) SOBRE LAS PROPORCIONES EUCLIDIANAS

Hemos llegado al "quid" de la cuestión, al "sancta sanctorum" del documento, las proporciones euclidianas; pero, ¿qué es una proporción?

Las proporciones tienen que ver directamente con las razones o las fracciones o la relación que existe entre dos cantidades A y B. Matemáticamente se expresa como A/B; tal como 3/5, 1/8, 13/21, etc; y por supuesto, esto es una división como en 8/4 = 2.

Entonces, podemos comprobar proporciones al establecer una relación matemática entre dos fracciones, o sea entre cuatro cantidades A, B, C y D, de modo tal que se cumpla la siguiente proposición:

A/B = C/D

o sea que si dividimos A entre B se obtiene el mismo resultado que si dividimos C entre D.

Veámoslo con un ejemplo sencillo. Las cantidades son 6, 3, 10 y 5 y establecemos que:

6/3 = 10/5 y realizando la división obtenemos

2 = 2. Entonces decimos que seis tercios tiene la misma proporción que diez quintos.

Para comprobarlo se utiliza el conocido método cruzado:

o sea A X D = B X C, aplicando en el ejemplo:

6 X 5 = 10 X 3; o sea, 30 = 30; ¡comprobado!

La forma más común de encontrar expresadas las proporciones es:

A : B :: C : D

que se lee: A es a B como C es a D; o sea A es proporcional a B de la misma manera que C es proporcional a D.

Encontrar proporciones es uno de los métodos más potentes del pensamiento humano y, por lo tanto, como los CPs pertenecen a la genialidad humana, también es un método potente para su resolución.

Como ustedes bien entenderán, la anterior exposición sobre el concepto de las proporciones no pertenece al manuscrito ( suponemos que los sabios lo dieron por obvio) pero creo que era necesario expresarlo para el buen entendimiento de lo que los sabios procederán a estudiar. Pero entonces, en relación a las Proporciones Euclidianas, ¿cómo proseguirá el documento?

CONTINUARA...

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 3

DIA 3 DE MARZO

Las abejas son manipuladas para obtener muchos

productos destinados al uso humano; miel, cera,

polen, jalea real y veneno. Son insectos inteligentes

que han sido descritas como poseedoras de unos

complejos sistemas de comunicación superados

sólo por los de los seres humanos.

Las Abejas y la Miel.

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En el segundo día de la presente publicación, quedamos en dar un vistazo a las conclusiones de los eruditos que estudiaron el documento y sin más proseguimos:

ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO
MOZARABICO-JAPONES Y SUS
IDEAS PRINCIPALES

A) LA PORTADA

El escritor dice ser Abū l-Walīd Muhammad ibn Ahmad ibn Muhammad ibn Rushd, más conocido como Averroes, quien naciera y viviera en Andalucía, sur de España, entre el 1126 al 1198. Averroes fue un hombre erudito que cultivo todas las ciencias y que influyó fuertemente en la filosofía escolástica medieval. El título es: Sobre Proporciones Euclidianas. Además aparece el CP de la base pez del origami tradicional japonés y con los nodos exquisitamente remarcados por dos estrellas doradas y con la letra epsilon haciendo una clara referencia al sabio griego Euclides. Debajo de la base pez aparece de manera repetitiva el símbolo japonés que representa la palabra SAMURAI. Lastimosamente, el documento no aparece datado, lo cual consideran los eruditos es una lamentable omisión que puso a muchos a dudar sobre su autenticidad.

Para que puedan ustedes comparar lo sorprendente de esta portada les deseo mostrar el CP de la base pez y dos de sus CPMV y bases colapsadas:

B) INTRODUCCIÓN

La introducción está contenida en dos páginas y relata como Averroes fue visitado por un monje y guerrero samurai quien había decidido seguir las caravanas de la ruta de la seda para buscar los elementos de las sabidurías de occidente. El guerrero le mostró a Averroes un antiquísimo arte que consistía en el doblado de hojas de papel y que era utilizado en Japón, tanto para fines diplomáticos como para la meditación de los guerreros. En una ocasión, sigue el relato, el monje guerrero dobló y desdobló la hoja que estaba utilizando y un rayo de intelectualidad pura brilló en la mente del sabio moro. Ahora todo se le develaba con gran claridad. Esas marcas dejadas en el papel por el procedimiento de doblado debían guardar, matemáticamente hablando, una relación con los diferentes postulados del libro Los Elementos de Euclides y que él había conocido a través de la traducción al árabe que realizara al-Hajjaj de la Casa de Sabiduría en Bagdad.

Durante varios días se encontraron los sabios para analizar profundamente las líneas dejadas en las hojas de papel y los postulados de Euclides y como el mismo Averroes escribe en esta introducción: "El libro VI de los Elementos fue una fuente inmensa de inspiración y mi amigo el monje japonés no dejaba de encontrar vínculos entre los teoremas matemáticos y las líneas; incluso una vez, completamente concentrado, lanzó un suspiro y señaló algo sobre que interesante hubiese sido que Euclides hubiera conocidos estas ancestrales técnicas japonesas; a lo cual le respondí que por supuesto"

Hoy se sabe que lo que los sabios estuvieron estudiando tan detenidamente fue nada mas y nada menos que los dos CPs de las bases tradicionales del origami japonés, a saber, la base cometa y la base pez.

Después de la introducción el opúsculo continúa con una interesantísima exposición sobre el Incentro, el cual es estudiado en el Libro IV de los Elementos. Veamos un resumen de esta exposición la cual tiene una importantísima relación con el Origami como ustedes ya entenderán.

CONTINUARA...