octubre 15, 2006

PAPELES EN TENSION

INTROITO

Estimados lectores: Agradezco profundamente todos los comentarios que realizaron con respecto a la entrada anterior. A los que van a leer este blog por primera vez les recomiendo empezar con la entrada anterior: UN PASATIEMPO DE DECISIONES. Como se habrán dado cuenta, le he cambiado el nombre al blog por EL CODIGO D'CP, esto con el fin de hacerlo más atractivo e interesante. Además le he creado un logotipo, el cual pueden ver a su derecha. El logotipo tiene un acertijo en si mismo. Agradecería me escribieran cuando lo entiendan. Por último, por supuesto que yo también desearía que las entradas fueran más seguidas pero mientras no domine todos los recursos para ilustrar adecuadamente mis ideas, debo mantenerme con entregas cada quince días. Las ideas se me agolpan en la mente y desean salir ya, para que ustedes las analicen pero hay que contenerlas y organizarlas para después entregarlas. Por ahora están en mi cuaderno físico pero ya las mostraré en mi cuaderno virtual. Algún día talvez realice entregas semanales. ¡Ya veremos! También estoy trabajando para llegar a las personas de habla inglesa.

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de Origami

Nota: algunas palabras o frases aparecerán en verde.
Esto significa que son añadidos ulteriores a la publicación
de la entrada y por sugerencia directa de los lectores.



I PARTE:

LA ECUACION:

El Tangram, ¿quién no conoce este milenario pasatiempo chino? Tomamos un cuadrado y lo dividimos en siete figuras geométricas básicas: 5 triángulos rectángulos isósceles, 1 cuadrado y 1 paralelogramo. Un instructivo con las siluetas de miles o tal vez millones de figuras nos invita a colocar esas 7 figuras geométricas en arreglos planos y obtener las siluetas. Entonces en el Tangram dividimos un cuadrado, obtenemos unas figuras geométricas y construimos siluetas:

¿Que tiene que ver esto con los CPs? Pues bastante!. En el capítulo ocho del libro Origami Design Secrets, el Dr. Robert Lang, hace un excelente estudio de lo que se denomina en origami "Tiling". Lang señala que un CP está compuesto de figuras geométricas que se ensamblan en un cuadrado, siguiendo ciertas normas básicas, tal como si fuese un mosaico. Por lo tanto, a partir de un modelo de origami se obtienen, al desdoblar, las marcas del CP; y sus intersecciones conforman figuras geométricas. Lo interesante es que todas quedan ensambladas perfectamente en un cuadrado. Por lo tanto tenemos:

Ahora me entienden el porque uso esta metáfora: que el CP es el inverso del Tangram. Claro que el Sr. Lang en su libro está hablando sobre diseño de nuevas bases para modelos de origami, pero creo que podemos generalizar. Ya sea que el modelo esté en la mente de creador o que ya esté doblado y se desdoble, la verdad es una: un CP está compuesto de múltiples figuras geométricas inmersas en un cuadrado. Por lo tanto, en el proceso de resolución de CPs una de las primeras acciones que debemos realizar es:

PRIMERA PISTA
RECONOCER LAS FIGURAS GEOMETRICAS

Para ilustrar lo anterior, recurriremos a un CP del origamista colombiano Daniel Naranjo y a las imágenes de los Tipos de Triángulos en el capítulo anterior. (Si tocamos el CP veremos el modelo final del autor)

Fig.1: CP de Daniel Naranjo

La pregunta sería : ¿cuántos triángulos y de qué tipos aparecen en el CP de Daniel? ¿Qué otras figuras geométricas podemos reconocer en él y cuantas de cada una?
Aunque a primera vista parece fácil resolver estas preguntas, les diré que no lo es. Para resolverlas tenemos que utilizar algún método. El que yo les recomiendo es un proceso de discriminación visual. Además este método me permitirá indicarles algunas conceptos básicos más en la resolución de CPs.



II PARTE:

CONTANDO FIGURAS GEOMETRICAS

Cuando observamos un CP, especialmente los más complejos, se nos presentan muchas hermosas combinaciones de figuras geométricas y si quisiéramos reconocerlas y contarlas de seguro nos sentiríamos pronto un poco confundidos. Es por ello que la primera pista nos invita a reconocer las figuras geométricas en el CP. Vamos a dar la segunda pista:

SEGUNDA PISTA
SELECCIONAR LAS FIGURAS GEOMETRICAS INCLUIDAS
ENTRE LAS LINEAS MÁS LARGAS DEL CP

Bien!, podemos ver en el CP de Daniel que las líneas más largas cortan el CP en 4 figuras geométricas básicas. Las demás líneas, normalmente más cortas, las dejaremos para después.
Si queremos contar triángulos pues ya tenemos cuatro. Este es el conteo al "Primer Nivel" que es el más importante.
El siguiente paso nos lleva a la tercera pista:

TERCERA PISTA
ENCONTRAR LAS LINEAS DE SIMETRIA DEL CP

Es muy común que un CP sea simétrico con respecto a una o varias líneas; o sea, que todo lo de un lado de la línea se repite en el otro (sobre simetrías ya analizaremos bastante en su debido momento). Por lo tanto, para contar los triángulos, podemos desentendernos de las otros mitades del CP, contar y luego multiplicar por dos. De este modo reducimos bastante el trabajo.
Al cortar en la línea de simetría se nos generan dos nuevos triángulos y multiplicando por dos tenemos cuatro triángulos. ¿Como va el conteo de triángulos? Pues, llevamos ocho. Este es el "Segundo Nivel". Veamos ambos niveles:

Fig.2: Divisiones al primer y segundo nivel

Los niveles pueden proseguir realizándose de acuerdo a conveniencias y dependen también fuertemente del CP que estemos analizando. En este blog voy a indicar solo dos niveles más y que sirvan de ilustración. Para el "Tercer Nivel" cortamos todos las figuras geométricas dentro de uno de las áreas del segundo nivel.
Tenemos ahora 20 nuevos triángulos y por 2 son cuarenta triángulos más. Total 48 triángulos.
Al cuarto nivel vamos a agrupar los triángulos, de dos en dos, luego de tres en tres, y así hasta el final. Solamente les muestro la agrupación en dos y tres de uno de los triángulos principales. Veamos los niveles 3 y 4:

Fig. 3: Divisiones al tercer y cuarto nivel

Bueno ya me canse!. Por dicha solo los primeros niveles son normalmente los importantes. A continuación les muestro una tabla con el total de todos los triángulos que encontré entre las líneas del CP de Daniel; pero les notifico que hay también, rombos, cuadrados, pentágonos, trapecios, etc que ustedes con paciencia pueden descubrir.

TABLA DE CONTEO DE TRIANGULOS

Para finalizar esta parte me gustaría mostrarles el TANGRAM INVERSO de Daniel Naranjo:

Fig. 4: CPD del Unicornio de Daniel Naranjo

!Hermoso!, ¿verdad?...
Dado que en algunos momentos utilizaremos, en este blog, este recurso para estudiar los CPs me gustaría llamar a este tipo como CPD o sea CP dividido y entendemos, dividido en sus figuras geométricas fundamentales. Dado que habrá muchas formas de dividir el CP, la división será seleccionada únicamente por concepto de conveniencia.


III PARTE
LA SERIE EQUIS

En la última entrada nos terminamos preguntando que sucederá cuando a nuestros CPs más sencillos les incorporemos una nueva línea. Lo que sucede, al fin y al cabo, es que la Primera Incertidumbre Espacial se vuelve de vital importancia. Ya veremos el porqué.

Tomemos nuestro CP de la Bisectriz y tracemos la otra Bisectriz. Con ello dividimos las cuatro esquinas del papel en ángulos de 45º cada uno; además nos aparece una intersección de ambas líneas y se forman cuatro triángulos isósceles rectos, cada uno de un cuarto del área del cuadrado original. Veamos el CP:

Fig. 5: CP Bisectrices______Fig. 6: Vértices y rayos

Este CP con forma de equis nos permite introducir dos nuevos conceptos muy importantes. El punto , la letra griega omega, en la figura 2, que corresponde a la intersección de las dos diagonales y que se ubica exactamente en el centro del papel, es un ejemplo de un VERTICE o NODO. Los vértices son puntos en el plano donde se cruzan varias líneas. Si retomamos nuestra metáfora del embrión, el punto sería el ombligo del embrión, y será un punto muy importante para este blog.
Otra forma en que se puede considerar el vértice y que personalmente preferiré en este blog, es considerarlo como un punto del cual irradian varios segmentos de línea. Estos segmentos de línea son conocidos como RAYOS. En la figura 6 hemos marcado con rojo uno de estos segmentos. Por lo tanto, el vértice mostrado divide cada diagonal en dos partes exactamente iguales generando cuatro rayos que irradian de él.

Vamos a jugar un poco con estos rayos y ya verán que cosas interesantes van a suceder. Tomemos un papel y procedamos a doblar el primer CPMV con todos los rayos en valle, tal como se muestra en la siguiente figura.

Fig. 7: CPMV con solo valles

Marquemos muy bien el valle por cada rayo. ¿Qué observamos? Correcto. El papel queda en tensión y se provoca una curvatura en cada superficie de los cuatro triángulos isósceles rectos. La orilla del papel también esta curva. Aprovecharé esta curvatura del papel para realizar varias figuras tridimensionales de origami, las cuales llamaré LA SERIE X.

Con el CPMV todos en valle les muestro las siguientes imágenes: La Madonna y La lágrima.

_

Fig. 8: LA MADONNA________Fig.9: LA LAGRIMA

El CP corresponde , por supuesto, a la base de la figura. Por lo tanto, no se muestran los dobleces para hacer el bloqueo final de la figura. Pero la verdad, es muy fácil!
En el siguiente CPMV los rayos se alteran entre valles y montañas. Veámoslo y procedamos a doblarlo (observar que el resultado es una diagonal en valle y la otra en montaña). Una figura más se puede generar en la Serie X: El Beso.

Fig. 10: CPMV mixto

Fig. 11: EL BESO


Por último, el siguiente CPMV muestra dos rayos adyacentes en valle y los otros dos en montaña. Como resultado les muestro dos figuras más de la Serie X: El Angel y El Benedictino.

Fig. 12: CPMV mixto

Fig. 13: EL ANGEL

Fig. 14. EL BENEDICTINO

Resumiendo, de un mismo CP hemos obtenido tres CPMV y seis figuras simples y elegantes de origami.
Entendemos ahora el problema de la PRIMERA INCERTIDUMBRE ESPACIAL. Al asignarle valles y montañas a las líneas de los CP se pueden generar varias combinaciones y los resultados son diferentes debido a las relaciones entre ellas. En CPs muy complejos tenemos múltiples vértices y muchísimos rayos y se deben tomar decisiones a cada momento sobre cuales son valles y cuales montañas. Por dicha, el origami vendrá en nuestro auxilio para darnos algunas luces sobre como proceder. ¡Ya lo verán!

Un procedimiento similar podemos realizar con las mediatrices. El CP de las dos mediatrices se muestra en la siguiente figura:

Fig. 15: CP Mediatrices


El vértice de las dos mediatrices cae también exactamente en el centro del papel y los rayos dividen el mismo en cuatro cuadrados cada uno un cuarto del área del cuadrado original. Para este CP solo mostraré un CPMV con todos los rayos en valle y una sola figura: el Murciélago.

Fig. 16: CPMV

Fig. 17 : EL MURCIELAGO


Todas las figuras obtenidas son evidentemente tridimensionales y no se pueden aplanar sin introducir nuevos dobleces. Vi un video en que el genial origamista Robert Lang marca las dos diagonales o las dos mediatrices y siguiendo las curvaturas del papel logra marcar los siguientes dobleces que forman las figuras planas multicapas. El papel parece suplicar con su curvatura la introducción de esos dobleces para así eliminar la tensión y entrar en sosiego. Esta súplica es realmente una variable física: la tensión mecánica. La tensión mecánica se define como el valor de la distribución de fuerzas por unidad de área en un cuerpo sólido. Es como cuando se jala una cuerda por ambos extremos. Como bien sabemos, el papel está compuesto por fibras vegetales y adhesivos que las compactan. Al marcar líneas sobre el papel las fibras se tensan y generan estas curvaturas. Veámoslo en la siguiente imagen para que me entiendan:

Fig. 18: Papel en tensión

Muchos CP que observamos tienen entre sus líneas el embrión de figuras planas multicapas y otros el de figuras tridimensionales. En algún momento de nuestro aprendizaje estudiaremos juntos el requisito para que una figura sea plana multicapa. Pero eso será más adelante.

Por ahora nos falta todavía bastante camino por avanzar y muchos conceptos básicos por dominar. Para aprender más aún utilizaremos las BASES TRADICIONALES del origami japonés, pero esto será en nuestra próxima entrega.

En este blog tus comentarios son extremadamente importantes; por favor escribirlos abajo. Si no tienes una cuenta ni un password no se preocupe, toque donde dice anónimo y allí puede escribir su mensaje.
Si deseas una copia en formato pdf de este documento solicítamelo a la dirección eric@internetelfaro.com que con mucho gusto te lo enviaré.

Hasta dentro de 15 días....


13 Comentarios:

Blogger Elerth Leiva dijo...

Muy buena Eric, veo que te especialisaste con esta parte del origami, me sorprendio las cosas que no sabia de las figuras en origami, no solo en cp's, sino tambien en procesos, me aclaraste algunos puntos que me hacian zapater y ojala no sigas compartiendo tu experiencia
Felicitaciones....

Suerte con las figuritas!!!

3:21 p. m.  
Anonymous Roy Richard Flores Gonzalez dijo...

Gracias otra vez Eric por tus aporte, de verdad que hay puntos que no se me habian pasado aun por la cabeza, gracias a esto me das otro punto de vista desde donde observar un cp.

7:55 p. m.  
Blogger YHOYO dijo...

hola!!!... veo que ya usas un bonito programa de dibujo...¿es el corel del que hablamos???... chiao and congratulations

7:35 a. m.  
Anonymous Carlos luna dijo...

Tu logo es claramente un hombre de vitrubio, las proporciones aureas del hombre. y ahora creo que aplicadas al origami. ¿tengo razón?
Tu blog esta de maravilla.

6:21 a. m.  
Anonymous Anónimo dijo...

¡Hola Eric!:

Te envío mis más sinceras felicitaciones por tu fantástica y admirable publicación que ya está siendo famosa. Dices que tenemos muchas cosas que aprender y tienes razón. Solo que la orientación de un experto guía es esencial y tú lo estás haciendo de maravilla.

Te agradezco esa gran generosidad para con todos y el dominio del arte de la papiroflexia.

Atte.

Fernando García Ramírez,
desde Tepic, Nayarit, México.

P. D.- En lo personal, ya quisiera la próxima de las entregas...

5:28 p. m.  
Anonymous Anónimo dijo...

Este blog ha sido eliminado por un administrador de blog.

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