noviembre 15, 2006

...EN CARACTERES MATEMATICOS

INTROITO

Estimados lectores:

¡Mea culpa! No he podido cumplir con el compromiso de entregar la segunda parte de la entrada anterior en una semana. Realmente la que les ofrezco ahora, es bastante compleja y me tomó mucho tiempo elaborarla. Más del que yo esperaba. Pero aquí está y espero que con ella aprendan muchas cosas sobre la resolución de CPs. De este modo completamos la entrada total con el nombre:

"LA NATURALEZA ESTA ESCRITA EN CARACTERES MATEMATICOS"

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de origami


III PARTE

MATEMATICAS EN HUANCAVELICA


1. LA BUSQUEDA DEL TESORO

Al finalizar la entrada anterior nos preguntamos sobre el cómo ubicamos cosas en el espacio. Para ello, los invito a tomar un avión virtual y dirigirnos a la ciudad de Lima en Perú. De allí tomaremos un autobús que nos llevará directamente a la pintoresca ciudad de Huancavelica enclavada en las serranías de la cordillera de los Andes.

Nuestro objetivo es encontrarnos con el origamista peruano Alejandro Dueñas quien nos ha solicitado una especial ayuda. Parece ser que hace unos días atrás, unos Apus, o dioses de las montañas, le quitaron un CP muy valioso de su propiedad y lo dejaron en algún lugar de la ciudad. Este CP, nos indica Alejandro, contiene un código secreto que le permitirá llegar a encontrar un valiosísimo tesoro.

Hemos llegado ya a Huancavelina y estamos con Alejandro en algún lugar de su ciudad; y nos pregunta: ¿Donde estará mi CP?


Dado que viniendo de la estación de autobús hemos visto el CP cerca del correo vamos a ayudar a Alejandro a encontrarlo.

Para ello sacamos de nuestra caja de herramientas el visualizador de direcciones: el sistema de ejes cartesianos.

El sistema consta de dos ejes, el eje X que va horizontalmente y el eje Y que va verticalmente. Los ejes están a 90º uno respecto del otro y se cruzan en los que se llama el origen o punto cero. Los ejes están marcados como una regla para medir y sus marcas dependen sistema de medidas que estemos usando (metros, pulgadas, etc). Las escalas pueden cambiar a conveniencia. Si nos movemos del origen a la izquierda o hacia abajo, los valores serán negativos y hacia la derecha o arriba los valores serán positivos. Al cruzarse los ejes, se forman cuatro cuadrantes tal como se ve en la figura.

Entonces, con nuestros ejes, vamos a ayudar a Alejandro. Veamos:

-"Alejandro, viniendo de la estación del autobús, hemos visto tu CP junto a la oficina de correos. Te damos la dirección: De esta esquina donde estamos conversando, camina 150 metros al norte, hasta llegar a la otra esquina del parque, de allí caminas 150 metros al oeste y llegas a la esquina de la iglesia. Luego debes ir 100 metros al norte y allí, a tu derecha encontrarás tu CP."- "Esperamos que cuando lo encuentres compartas tu tesoro con nosotros"-

Mientras Alejandro va a buscar su CP, resolvamos las siguientes interrogantes: ¿cuántos metros debe recorrer Alejandro para encontrar su CP? y, si no existiesen edificios ni otros obstáculos, ¿cuántos metros debería recorrer? La segunda pregunta nos indica algo muy importante de la geometría: la distancia más corta entre dos puntos del espacio plano es siempre una línea recta. Veámoslo en los ejes cartesianos a los que hemos quitado los cuadrantes que no nos son de utilidad:

La línea roja representa, por lo tanto, lo que camina realmente Alejandro; o sea, 150m + 150m + 100m = 400 m. La línea azul representa la distancia real que hay entre nosotros y el CP y que es la distancia más corta si no existiesen obstáculos. ¿Cuánto mide esta distancia? Para resolver esta interrogante debemos recurrir a un antiguo matemático griego: PITAGORAS y a su famoso teorema. En la siguiente figura, observamos que la línea azul forma con el eje X y la proyección del eje Y un triángulo rectángulo, que es precisamente lo que necesitamos para aplicar el teorema de Pitágoras:

He puesto los nombres de acuerdo a los conceptos matemáticos. La hipotenusa (h) corresponde al segmento opuesto al ángulo de 90º y los catetos son, por supuesto, los segmentos adyacentes (recordar que si el triángulo rectángulo es además isósceles, ambos catetos miden los mismo). Entonces el teorema de Pitágoras dice:

"EN UN TRIANGULO RECTANGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS"

Para ubicar los puntos verdes dentro del sistema de ejes cartesianos se utiliza lo que se llaman COORDENADAS CARTESIANAS; o sea, el valor en el eje X y el valor en el eje Y y se escriben con el siguiente formato (x,y). De esta manera para el lugar donde estamos hablando, las coordenadas serían (0,0) y para el lugar donde se encuentra el CP las coordenadas son (150,250). Veámoslo de una manera más clara:

Si sustituimos los valores correspondientes para X= cateto menor = 150 y Y= cateto mayor = 250, obtendremos los siguientes cálculos:

Si comparamos lo que ha tenido Alejandro que recorrer de 400 m para llegar al CP, con la distancia real de 292 m, vemos que hay un ahorro importante de distancia si tan solo pudiésemos brincarnos los objetos.

2. LAS PISTAS PARA LA BUSQUEDA

Bueno, aquí ya ha llegado Alejandro con su CP y nos pide que le ayudemos a indagar dos puntos de su CP con los cuales podría abrir la primera de las puertas que lo separan de su tesoro. Veamos el CP donde Alejandro ha marcado los puntos de su interés:

Es realmente un CP muy hermoso con simetría en la diagonal.

De la misma manera como se dan direcciones en una ciudad, podemos dar direcciones en un CP; por lo tanto vamos a ubicar nuestro CP en un sistema de ejes cartesianos y además vamos a hacer coincidir los lados con los ejes. Le añadiremos también las coordenadas de las esquinas. Veamos:

Debemos observar que se ha modificado la escala de los ejes a conveniencia, lo cual es matemáticamente correcto. Al hacer que el CP tenga un valor unitario significa que sus cálculos son los mismo para cualquier papel que estemos utilizando.

Muy bien, ahora sí tenemos todos los recursos necesarios para ayudar a Alejandro. Es claro que el CP, que en realidad es un CPMV, es bastante complejo con muchos rayos y nodos pero no debemos dejarnos confundir. Decía Santo Tomás de Aquino, que una de las formas básicas del aprendizaje consiste en dejar de lado las cosas muy complejas y fijar nuestra atención en las más fundamentales. Si aplicamos este principio y además somos buenos observadores y además leímos la entrada anterior, nos daremos cuenta de que entre el CP de Alejandro y el diseño del CP de la base cometa con que concluimos la entrada anterior, hay una íntima relación. Pongámoslos juntos para verlos:

O sea que, ayudarle a Alejandro a encontrar los puntos a y b es lo mismo que hacerlo en una base cometa como la que mostramos.

Antes de ubicar a y b quisiera sacar una conclusión importante de todo lo que hemos estado analizando:

"En un CP los rayos tienen medida y responden a la pregunta ¿cuánto mide? y los nodos tienen ubicación y responden a la pregunta ¿cuáles son las coordenadas?"

Dado que el CP de Alejandro tiene simetría en la diagonal, me gustaría que nos preguntásemos ¿cuánto mide la diagonal? Aplicando el principio de Santo Tomás, dejemos de lado las demás líneas y enfoquémonos solamente en la diagonal:

La diagonal junto con los ejes forma un triángulo rectángulo isósceles puesto que estamos utilizando un papel cuadrado. Además la diagonal es la hipotenusa. Por lo tanto, calculando con el teorema de Pitágoras tenemos:

Entonces el rayo que llamamos diagonal se inicia en (0,0), termina en (1,1) y mide:
. Si tuviéramos un papel de 20 cm entonces la diagonal se inicia en (0,0), termina en (20,20) y mide 20 x . Del mismo modo para cualquier tamaño de papel.


Ahora resolvamos el punto a.

Resolver el punto a significa, como ya lo hemos establecido, encontrar sus coordenadas. El punto a con sus ejes conforman el triángulo rectángulo A en rojo. Con respecto al eje X no hay problema pues su valor es 1, pero tenemos que determinar el valor de Y. Para ello consideremos lo siguiente:

1. El triángulo A es imagen especular del triángulo azul B, tal y como se podría comprobar doblando el papel.

2. El triángulo C es un triángulo isósceles, lo cual, también se puede comprobar doblando papel.

Por lo tanto los segmentos 1, 2, 3 marcados con negro son todos iguales. Entonces basta con saber el valor de uno de ellos para conocer el valor de los otros. Creo que la forma más fácil es calcular el segmento que coincide con la diagonal.
Entonces, dado que la diagonal mide y si doblamos el lado que mide 1 sobre ella, entonces el segmento 3 mide: -1 y los otros dos segmentos miden igual. Por lo tanto, la distancia Y mide:

Tenemos ya las coordenadas del punto a: . Con los valores de las coordenadas y aplicando el Teorema de Pitágoras obtendremos que la medida del rayo que va desde el origen al punto a es de:

¡Número realmente raro! Este rayo es bisectriz del ángulo de 45º como vimos en la entrada anterior.

Ahora averigüemos el punto b:

Para el punto b, debemos notar que sus coordenadas forman un triángulo rectángulo isósceles. Por lo tanto, los catetos miden lo mismo. Además su distancia al origen, que es la hipotenusa, tiene valor de 1 lo cual comprobamos con solo doblar el lado sobre la diagonal. Utilizando el Teorema de Pitágoras resolvemos:



Por lo tanto, las coordenadas del nodo b son: y el rayo que lo une con el origen mide 1. Con esto hemos terminado y ya le podemos dar el CP a Alejandro con los puntos localizados.

3. EL TESORO DE ALEJANDRO

"Toma, Alejandro, aquí esta tu CP con las coordenadas que nos pediste"




"¡Muchas gracias!, Ahora si podré abrir todas las puertas para llegar al tesoro."

"¿Nos mostrarás el tesoro?"

"¡Por supuesto!, ¡un momento!, ¡listo! Solo toquen donde dice BASE COLAPSADA"

BASE COLAPSADA

Bueno, lectores, como ustedes ya habrán entendido, todo lo que hemos hecho con el CP de Alejandro Dueñas, sirve para la BASE COMETA o cualquier CP que utilice sus referencias. Los puntos o nodos a y b son dos referencias que se derivan de los conceptos de la base cometa. Cada base, sea tradicional o contemporánea, tendrá sus propias referencias.

Nuestro siguiente paso será, por supuesto, tratar con la siguiente base del origami japonés: LA BASE DEL PEZ.

En este blog tus comentarios son extremadamente importantes; por favor escribirlos abajo. Si no tienes una cuenta ni un password no se preocupe, toque donde dice anónimo y allí puede escribir su mensaje.Si deseas una copia en formato pdf de este documento solicítamelo a la dirección eric@internetelfaro.com que con mucho gusto te lo enviaré.


Hasta dentro de una semana...

7 Comentarios:

Anonymous Anónimo dijo...

Just Thought I'd Say Hi!!!!


I made an extra $2000 a Month Using this site!!

10:21 a. m.  
Blogger YHOYO dijo...

HOLA Eric ... tu sabes que este blog me parece super... lo ultimo en guaracha como decimos algunos por aqui... asi que continua con ese animo y aportandonos cada vez más a cada uno de nosotros

saludos

Diego

7:21 a. m.  
Anonymous Carlos Luna dijo...

¡Como quisiera haber tenido un profesor de matematica tan ludico y didactico! me parece muy sencilla tu forma de presentar las ideas matematicas. ¡Gracias!

5:22 p. m.  
Anonymous Anónimo dijo...

¡Hola Eric!:

De verdad que hay mucho que aprender... y pensar y observar que parece tan sencillo a la vez que "inofensivo" un cp.

Por lo pronto, me quedo con la idea de que ubicar un nodo o rayo (para encontrar sus referencias) en el patrón de doblado es el resultado de aplicar el teorema de Pitágoras en el papel.

¡Gracias por compartirnos tus valiosos conocimientos!

Atentamente:

Fernando García Ramírez,
desde Tepic, Nayarit, México.

8:58 p. m.  
Anonymous Anónimo dijo...

hola, Eric,
soy profesor de matemática en el liceo frances de San Salvador.
Hace unos meses que me interesé en origami. Solamente quería agradecerte por compartir tus conocimientos del cp y decirte que como profesor de matemática me encanta. Si puedo ayudarte en el futuro con mucho gusto.
Mi mail profschabrol@yahoo.fr
Estoy impaciente de leer la proxima entrada.

12:26 a. m.  
Blogger Esteban dijo...

Excelente!... vamos a la otra lectura!!

Me imagino en mi escritorio, una hoja cuadrada con un enjambre de lieneas, una lámpara y un compas... a las 5 de la mañana, como ahora mismo... :D

Suerte y un saludo desde Temuco de Chile!!

12:07 a. m.  
Anonymous Anónimo dijo...

Hola,Eric:soy estudiante de 2do año de liceo,en Uruguay,y me sirvio mucho leer este material ya que lo estoy dando en clase.Muchas gracias y espero seguir visitando su pagina.
Romina

12:57 p. m.  

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