noviembre 01, 2006

LA NATURALEZA ESTA ESCRITA . . .

INTROITO

Estimados lectores:


Lastimosamente me fue imposible completar la entrada tal como quería entregárselas. La verdad es que en estos quince días estuve algo enfermo. Por lo tanto, he tenido que dividir la entrada en dos y me comprometo a entregar la otra parte en una semana. Esto hizo que también dividiera el título, pero se que muchos sabrán como es la continuación. Les recuerdo a los nuevos lectores que antes de leer esta entrada deben remitirse a las entradas anteriores pues todo va debidamente concatenado. Felicito a los que por su cuenta descubrieron el significado del logo. Si desean saber más solo toquen la siguiente imagen:

Espero que sigan disfrutando la lectura de mi blog y les recuerdo lo importante que es que escriban sus comentarios.

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de Origami

Nota: algunas palabras o frases aparecerán en verde.Esto significa que
son añadidos ulteriores a la publicaciónde la entrada y por sugerencia
directa de los lectores.

I PARTE



CONSTELACIONES

En la entrada anterior introducimos los conceptos de rayos y nodos o vértices. Las líneas de un CP se cruzan en la superficie del papel generando así intersecciones que se denominan nodos y las líneas que los forman quedan divididas en segmentos que irradian desde el nodo y que llamamos rayos. Me gustaría que mantengamos estos conceptos frescos en nuestra mente.

Durante las últimas décadas, el origami ha ido, poco a poco, elaborando todo un lenguaje simbólico que nos permite interpretar adecuadamente todas las acciones que debemos realizar al doblar un papel. Uno de estos simbolismos es el de la líneas. Los diagramas de origami usan varios tipos de líneas: valle, montaña, marca, rayos X, etc. En cambio, en la teoría de los CPs usamos solamente tres tipos diferentes de líneas para obtener los CPMV; y con un cambio bastante importante. Las líneas tradicionales de guiones y puntos son sustituidas por líneas de colores. En el libro ODS, Robert Lang establece que líneas coloreadas gruesas representan valles; líneas negras gruesas, representan montañas y líneas negras delgadas, representan marcas. En este blog, y solo por consideraciones de claridad didáctica utilizaremos el código de colores que aparece en el siguiente cuadro:

Dado que tendemos a olvidarnos constantemente de estas convenciones, me gustaría ofrecerles el siguiente recurso memorístico:

MICROCUENTO
SOBRE LA LLEGADA DEL ORIGAMI A AMERICA

Veíamos, con asombro, a la distancia, correr por aquel irreverente valle, el torrentoso río de aguas azules, (¡cómo el cielo que te cubre, amada América!-le dije); y en las montañas, igual que loros vestidos de jade, colgando, las tremulantes selvas indígenas con su amasijo vegetal siempreverde. Y nos preguntabamos, ¿cómo, barquito de papel, lograste no sucumbir al embate de tu alma aventurera? ¿No era mejor que te quedaras tranquilo en el mediterránico océano de tu Sphera Mundi? Pero, ¡aquí estás, desde antaño!¡Para quedarte!Y eso basta.

En homenaje a los increíbles
origamistas latinoamericanos

Espero que con esto, cuando lean este blog, nunca se les olvide el significado de los colores de las líneas: valle con azul, montaña con verde.

Ahora bien, con respecto a los nodos, vamos a incluir sobre las intersecciones, pequeños círculos de colores, también verdes y azules. Sobre el significado de estos colores trataremos más adelante. Unicamente me gustaría indicarles que cuando a un CP se le dibujan los nodos, entonces se llama VACP (de las siglas en inglés para Vertex Assigned Crease Pattern).
Veamos un ejemplo muy sencillo de CP con líneas y nodos de colores:

Fig.1: Líneas tradicionales____Fig. 2: Líneas coloreadas

Hace unos días, estaba trabajando sobre un CPMV y le había marcado todas las líneas y los nodos de colores cuando entró un amigo mío de once años llamado Kevin. Al ver el CP sobre el escritorio y sin saber lo que era, solamente exclamó: "Mirá!, parecen constelaciones". Efectivamente, los CPS, con sus rayos y nodos, parecen dibujos antiguos de hermosas constelaciones.
Ahora desearía que apagáramos las luces virtuales, y en la oscuridad dirijamos nuestra mirada al vasto y oscuro universo y allí descubramos la CONSTELACION DEL GANSO:

Fig. 3: Constelación del Ganso

Este hermoso CP fue diseñado por el joven origamista peruano Elerth Leiva y tuvo la dicha de inspirar al famoso origamista uruguayo Román Díaz a realizar una genial interpretación del CP y lograr un hermoso modelo final. Si tocamos sobre la Constelación, aparecerá el modelo terminado de Román para el CP de Elerth.

Para terminar esta parte, deseo mostrarles con todo su esplendor el VACP y la base colapsada del modelo del Ganso de Elerth.




Fig.4: VACP de la base del Ganso

Fig. 5: Base colapsada del Ganso

Si tocan el CP obtendrán la foto del ganso original, tal y como salió de la mente de Elerth y si tocan la figura de la base colapsada serán dirigidos a un documento en formato pdf con un entrevista muy buena a Elerth Leiva.


II PARTE


LA BASE COMETA O LA ESTRUCTURACIÓN DEL MISTERIO


La primera y más sencilla de las BASES TRADICIONALES del Origami Japonés es la BASE COMETA. Veamos su CP, su CPMV , su CPD y la BASE colapsada:

Fig. 6: CP _____________Fig.7: MVCP

Fig.8: CPD_____________Fig. 9: Base colapsada

La base Cometa es simétrica con respecto a la bisectriz. El CP consta de tres rayos que irradian del origen, el central es la diagonal y los otros dos intersectan dos lados del cuadrado. El CPMV muestra dos rayos en valle y una línea de marca central. Cada mitad simétrica consta de dos triángulos, un triángulo rectángulo escaleno y un triángulo obtusángulo escaleno, por lo tanto son cuatro triángulo como se ve en el CPD. La base colapsada nos recuerda los cometas (papalotes, barriletes, etc, dependiendo del país de origen del lector) y en inglés se denomina KITE. Esta figura geométrica es definida como un cuadrilátero con dos pares de lados adyacentes iguales. Veamos:

Un ejercicio interesante que tiene maravillosas consecuencias es trazar la línea que une las dos intersecciones de las líneas con los lados:

Esta línea, que es perpendicular a la diagonal, divide el triángulo obtuso en dos triángulos, un triángulo rectángulo escaleno (b) y un triángulo rectángulo isósceles (c). Lo interesante es notar que el triángulo b es la imagen especular del triángulo a; o sea, es como si el triángulo a se viese en un espejo. Muchos cálculos matemáticos en la resolución de CPs se basan en este tipo de sorprendentes relaciones que ocurren al doblar el papel.

Ahora debemos preguntarnos: ¿Qué hace, realmente, en el papel la base cometa? ¿Cuál es su objetivo? En la entrada anterior vimos que las bisectrices dividen los ángulos rectos opuestos a la mitad, o sea, en ángulos de 45º y si doblamos el papel, obtenemos dos puntas de 45º opuestas y con dos capas de papel. Sin embargo, para el origami estas puntas no son realmente muy versátiles aunque de hecho superan a las puntas del cuadrado de 90º.

El ingenio de los primeros origamistas japoneses pronto se las ideó para crear una punta que fuese más versátil. Para ello procedieron de la siguiente manera:

1. Marcaron en el papel cuadrado la bisectriz

2. Llevaron uno de los lados a reposar sobre la bisectriz. Veamos lo que ocurre:

Fig. 10: Angulo alfa


¿Cuánto mide el ángulo alfa? Para saberlo debemos percatarnos que la nueva línea formada es también una bisectriz del ángulo de 45º. Por lo tanto, el nuevo ángulo es de 45º/2 que es 22.5º. El ángulo alfa es por tanto de 45º + 22.5º = 67.5º. Además debemos observar que la figura generada es un trapecio rectángulo. Rotemos la figura y veámoslo:

Fig. 11: Trapecio rectángulo


3. Llevaron el otro lado adyacente sobre la diagonal. Veamos:

Fig. 12: Nuevo ángulo alfa



Dado que el nuevo doblez es también una bisectriz del otro ángulo de 45º, el nuevo ángulo alfa es la suma de dos ángulos de 22.5º; o sea, es un ángulo de 45º.

¡Perfecto! ¿Cuál es la conclusión? Los japoneses lograron con la base Cometa generar una punta de 45º pero centrada en la diagonal. Si observamos el CP de la base Cometa nos percatamos, entonces, que el ángulo original de 90º ha sido dividido en cuatro ángulos iguales de 22.5º:

Fig. 13: CP con ángulos de 22.5º

Para tener una mejor perspectiva de la punta generada doblemos la base cometa por la diagonal. Veamos:

Fig. 14: Base Cometa doblada en la diagonal

Hasta este punto, surge una nueva pregunta: ¿que función cumple la diagonal o bisectriz en la base Cometa? Al colapsar la base, esta línea queda solamente como una marca, por lo tanto, ¿será realmente importante? La respuesta a esta interrogante es un rotundo SI; es más, la bisectriz no solo es importante sino que es fundamental. Para probarlo, los invito a imprimir los siguientes CPs y colapsarlos. Solo uno de ellos es la base Cometa.

Fig. 15: ¿Cuál será la base cometa?

La bisectriz es en la base Cometa la respuesta a una de las interrogantes más importantes que nos hacemos al resolver CPs:

2do Acertijo
¿Cuáles son las referencias?

Tradicionalmente se habla de puntos de referencia, pero, personalmente prefiero utilizar la palabra llana REFERENCIAS pues algunas veces serán puntos en el plano, pero en otras serán líneas. ¿Qué son, entonces, las referencias? Todo el proceso de resolución de CPs se basa en saber con exactitud donde van colocadas cada una de las líneas. Aquí no existe un "más o menos por el centro". La línea pasa por el centro exactamente o no pasa por el centro. La resolución de CPs es realmente un pasatiempo de exactitud y no podría ser de otra manera: con la cantidad de dobleces en un espacio tan reducido, todo debe quedar exactamente colocado en su lugar.

Para lograr establecer la posición de las líneas es necesario que exista una referencia; por ejemplo, si nos dicen: haga una marca a la mitad de un lado y luego lleve una punta hasta esa marca, entonces, ¿me entienden? , la marca sobre el lado es una referencia.

Al realizar la base cometa, se nos indica que debemos llevar el lado sobre la diagonal. Por lo tanto, la diagonal es una referencia. Es la referencia principal y única de la base cometa. Cada CP tendrá sus propias referencias las cuales debe ser averiguadas. Para determinar referencias se requiere del mayor esfuerzo e ingenio posible; y se vale de todo: métodos netamente origámicos, métodos matemáticos, regla y compás, o una mezcla de todos. Lo importante: determinar las referencias.


Me gustaría indicar que en el procedimiento de resolución de CPs es bastante común, imprimir el CP y sobre él empezar a jugar con las líneas para ver si son valles y montañas y lograr de este modo colapsar la base. Para mi y este blog, este es solamente el principio de la resolución. El CP impreso es algo así como la herramienta básica de trabajo pero no es el edificio que debe construirse. El verdadero edificio es la base colapsada. La base colapsada, desde mi punto de vista, será debidamente construída cuando a partir de cualquier tamaño de papel la logremos obtener y para esto, es fundamental encontrar las referencias para dar la ubicación exacta de cada doblez del CP.

Volvamos al CP de la base Cometa, pero utilicemos el diseño donde aparece la perpendicular a la diagonal. Muchas veces, la base cometa sirve de paso hacia modelos más complejos y las referencias de éstos, se encuentran en ella. Por lo tanto, debemos tener bien ubicados todos sus nodos. Particularmente nos referimos a los puntos a y b en la siguiente figura:

Fig. 16: Base Cometa con nodos a y b

La determinación de estos dos nodos nos lleva directamente a adentrarnos en el mágico mundo de las matemáticas de una manera más profunda y se hace necesario que introduzcamos varios conceptos más. La pregunta principal es, ¿cómo ubicamos cosas en el espacio?

En este blog tus comentarios son extremadamente importantes; por favor escribirlos abajo. Si no tienes una cuenta ni un password no se preocupe, toque donde dice anónimo y allí puede escribir su mensaje.Si deseas una copia en formato pdf de este documento solicítamelo a la dirección eric@internetelfaro.com que con mucho gusto te lo enviaré.

Hasta dentro de una semana...

3 Comentarios:

Blogger Elerth Leiva dijo...

Sin duda un Blog maravilloso para los que no se conforman con dolar diagramas. Me gusto la experiencia de poder ayudarte y agradesco que me haz hechoi particite de tu trabajo.

Gracias Eric.
Y suerte con las figuritas.. y con las proximas entradas!!!

8:05 a. m.  
Anonymous Anónimo dijo...

¡Madrigal! ¿qué digo?: ¡Magistral!

Todo excelente, amigo Eric. En lo particular, quedo esperando ya el siguiente capítulo.

¡Gracias por tu enorme empeño y entusiasmo!

Atentamente:

Fernando García Ramírez,
desde Tepic, Nayarit, México.

P. D.- ¡Felicidades asimismo por la entrevista que hiciste al joven amigo!
Elerth: también para ti: ¡Muchas felicidades!

5:14 p. m.  
Blogger Esteban dijo...

muy interesante... y ahora a devorar el siguiente pedacito!

Un saludo desde Chile!

11:26 p. m.  

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