EL CODIGO d'CP

ADDENDUM

2008-06-24T15:03:00.000-07:00

Este addendum se refiere a la entrada abajo mostrada.

Para aquellos que hayan logrado colapsar el CP contenido en el ánfora y resuelto las interrogantes planteadas, los ofrezco esta serie de ejercicios muy interesantes. Agradecería que las respuestas me las enviaran a eric_madrigal_cr@hotmail.com, a fin de ponerlas en el blog dentro de 15 días.

EJERCICIOS

1. ¿Qué figura geométrica se obtiene al colapsar el CP en el plano?

2. ¿Cuántos ejes de simetría posee el CP?

3. ¿Cuántos ejes de simetría posee el modelo en el plano?

4. Usando solo recursos origami-matemáticos, determinar el valor de los ángulos internos de la figura geométrica.

5. Considerando las leyes de las proporciones mínimas expuestas en los capítulos sobre Un Manuscrito Sorprendente, determinar cuánto mide la base mayor, la base menor, los lados y la altura de la figura geométrica.

6. Sugerir algún método matemático para determinar cual es el volumen máximo de agua que se podría contener en el modelo al convertirlo en un objeto útil.

Quedo a la espera de sus soluciones.

EL ANFORA DE PANDORA

2008-06-22T19:33:00.000-07:00

EL TERCER ENGIMA

"Desde mi fulgoroso, radiante e iridiscente trono, YO, ZEUS, Primero entre Todos, el Principal del Olimpo, Dios del Cielo y del Trueno, Hijo de Cronos y Rea, y tal como ha sido públicamente ofrecido; después de esta semana (que en el Olimpo esta compuesta de 9 meses y un poco más, por ser este año bisiesto, según los calendarios humanos):

DECLARO,

que ante la pregunta:

¿CÓMO ES, ESTRICTAMENTE HABLANDO,
EL CP DE LA BASE PRELIMINAR

Y EL DE LA BASE BOMBA DE AGUA?
¿CUAL ES LA DIFERENCIA ENTRE AMBOS?

se han merecido el título de:

HEROES ORIGAMISTAS

ELERTH LEIVA

ELISEO LUCAS

NICOLAS GAJARDO

MATEO DIAZ

y se han hecho acreedores de los magníficos premios.

____Ζεύς __________

ZEUS OLIMPICO

SOLUCION AL TERCER ENIGMA

Antes de plantear la solución del Tercer Enigma, deseo ofrecer como regalo por la paciente espera la composición de mi Papel Mágico Tipo E. Este papel es el que utilizo para hacer estudios de CPs o para estudios de procesos de plegado. El papel esta compuesto de papel encerado + aluminio + papel encerado; o sea, hay papel encerado a ambos lados del aluminio. Este papel sandwich es pegado con goma en spray. Y...¿cuál es su ventaja? Pues realmente la ventaja es que el papel encerado está recubierto de una delgada capa de parafina que al doblarse produce microquiebres, los cuales en contraste con el fondo del aluminio dejan una marca de color blanco muy bien definida; por lo tanto, se puede ser extremadamente cuidadoso y exacto en los procedimientos de plegado. A continuación les muestro una imagen con los materiales que uso. Espero este papel mágico les pueda ser de utilidad.

Volviendo al tema del tercer enigma, a continuación les muestro los dos CPs, el de la base bomba de agua y el de la base preliminar como son estrictamente hablando:

CP de la base Bomba de Agua

CP de la base Preliminar

Si observan cuidadosamente se darán cuenta de inmediato que en el CP de la Bomba de Agua falta una de las mediatrices; mientras que en el CP de la base preliminar falta una de las diagonales bisectrices. Esta es, por lo tanto la diferencia entre ambos CPs y como ustedes mismos pueden comprobar, ambos son colapsables en el plano y llevan a figuras completamente diferentes uno de otro. Por último debo recordarles que de acuerdo a los convencionalismos la lineas pueden ser mostradas en un CP (Robert Lang sugiere un grosor y color de línea diferente) pero al colapsar, son estructuralmente hablando, no significativas.

EPILOGO

Estimados lectores:

Nuevamente me dirijo a ustedes para comunicarles que a partir de esta entrada he decidido iniciar una sección del blog que llamaré DESDE EL ANFORA DE PANDORA. La idea, al igual que el mito, es abrir virtualmente el ánfora que se encuentra llenas de CPs, desde los más fáciles hasta los más difíciles; y extraer de ella uno o dos cps que puedan ser analizados, ya sea resueltos completamente hasta el colapsado de la base o dar indicaciones sobre su resolución. Por supuesto, esta actividad práctica será siempre acompañada de los estudios teóricos sobre los fundamentos de la resolución de CPs. Espero seguir contando con su lectura de mi blog y con sus comentarios y, además, espero que esta nueva sección sea de su completo agrado.

Atentamente,
Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de Origami

LA APERTURA DEL ANFORA

Para aquellos que deseen saber más sobre el mito de Pandora, pueden revisar lo que de ella se dice en Wikipedia: es un mito muy hermoso pues revela que en medio de todas las viscisitudes de la vida, la esperanza sigue al mando y se mantiene como lo último que se pierde. Pero, de esta ánfora, en EL CODIGO D'CP, saldrá solo un tipo de cosas: los CPs. Guardados con recelo por sus creadores, los CPs serán revelados lentamente, casi que de a uno en uno, para que los disfrutemos. Los creadores desean que cada uno se valorice como una obra de arte, diferentes uno de otros como las huellas dactilares.

Pero, ¿cuál es la llave para abrir este recipiente? Sin ninguna duda la llave es la siguiente:

EL PROCESO DE RESOLUCION DE CPS

Se que cada persona tendrá su propia manera de resolver CPs, por lo tanto yo mismo tendré la mia; claro, que con la mia se abre el Anfora de Pandora.

a) OBJETIVO

Reproducir un CP impreso en un papel de cualquier tamaño y colapsarlo.

b) MATERIALES

1. El CP impreso.
2. Foto de la base colapsada y del modelo final.
3. Hojas de papel en limpio.
4. Regla, transportador, compás.
5. Calculadora.
6. Libreta de apuntes.
7. Recursos computacionales.

c) PROCEDIMIENTO

1. Imprimir el CP, la base y foto del modelo final.

2. Realizar una inspección preliminar del CP para encontrar sus lineas fundamentales ( simetrias, referencias principales tales como base cometa, base pez, blintz, etc).

3. Tratar de describir con palabras el tipo de CP: por ejemplo, esta es una base cometa, o esta es una base preliminar desentrada, etc.

4. Con el cp impreso y la foto de la base colapsada, tratar de identificar la ubicación de las puntas del modelo en el papel (contribución de Mateo Diaz).

5. Marcar las líneas determinadas en la hoja en blanco.

6. Continuar encontrando referencias y marcarlas en la hoja en blanco.

7. De ser posible llevar un record en la libreta de las acciones para no olvidar las referencias que ubican las líneas.

8. Al mismo tiempo que se van localizando las referencias se puede ir intentando colapsar la base. Esto permite ir encontrando nuevas referencias mediante divisiones de ángulos, alineamientos de bordes, etc.

9. Tratar de recordar todos los elementos que se han ido enseñando en este blog y en otros relacionados con resolución de cps.

10. Tener paciencia y recordar que como todo en la vida, entre más experiencia y estudio mejor dominio del tema.

DESDE EL ANFORA DE PANDORA

CP No.1

Este CP es sumamente fácil pero tiene su truco. La referencia es exacta, por lo tanto, todas las líneas tiene una posición tambien exacta en la superficie del papel. Aparte de esto, aunque hay varias configuraciones (¿cuántas?)una vez que se establezca el CPMV, hay una que tiene las dos siguientes características: 1. es estéticamente agradable y 2. es útil. Además aclaro que las líneas del CP llevan al modelo final (aclaración aportada por Diego Quevedo). En 15 días, tiempo terrestre, estaré publicando la solución, pero aquellos que la logren pueden dejarme sus respuestas en la sección de comentarios.

Las preguntas entonces son:

1. ¿Cuál es la referencia principal?

2. ¿Cuántas configuraciones obtienes cambiando las asignaciones valle y montaña?

3. ¿Qué es el modelo?

Si ya tienen la llave pues entonces abramos el Anfora de Pandora (adivina como se abre!!!):

EL ASOMBRO DE PANDORA

2007-09-19T10:31:00.000-07:00

INTROITO

Estimados lectores:

Después de varios meses coloco a su consideración la presente publicación de mi blog. Para aquellos que leen por primera vez mi blog, les recuerdo que éste representa el estudio que yo mismo voy llevando a cabo sobre los CPs. Cada entrada, por lo tanto, está concatenada con las anteriores, las cuales deben ser revisadas para entender las subsiguientes. Les recuerdo, a modo de Indice, el orden de las entradas:
1. Introducción y definición de CP.
2. Un pasatiempo de decisiones.
3. Papeles en Tensión.
4. La Naturaleza está escrita...
5. ...en Caractéres Matemáticos.
6. Un Regalo de Navidad.
7. Un Manuscrito Sorprendente ( 1a hasta 21)

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de Origami.

A) EL PRIMER ENIGMA

Ese día Pandora se encontraba deseosa de conocimientos; encontrar algo que la hiciese pensar un poco más de lo habitual. Ya estaba cansada de la música y de la pintura; y aunque en ellas podría descubrir conocimientos infinitos, su alma inquieta deseaba algo diferente. Y allí estaba su caja repleta de misterios. Pero la constante y contudente prohibición de Zeus la detenía. Recordaba que la última vez que la abrió se le había escapado una plaga de langostas que arrasó por cien años los cultivos de la tierra y hubo una gran hambruna que diezmó la población terrestre. La cólera de Zeus fue inmensa: "¡Nunca más!¡Nunca te atrevas a abrir el cofre de nuevo! ¡Necia!-le advirtió. Y sus gritos se escucharon por todo el universo como una tormenta sideral.

Sin embargo, ¿que haría ahora con su obstinada curiosidad? Sus más íntimos deseos de conocimientos aplacados tan vilmente. No estaba Zeus, en este preciso momento, bien lejos presidiendo desde su trono las Olimpiadas. Y ella allí solita, tan aburrida, tan...y junto a ese maldito cofre que parecía hablarle en el silencio diciéndole: "¡Vamos Pandora!, ¡ábreme!, ¡ábreme ya! ¡Qué tentación más grande, por los dioses del Olimpo! A este punto recordó que Zeus se había llevado consigo la llave y sintió un ligero alivio; pero... acaso no tenía mil copias escondidas por todo el Olimpo que le había encargado a Hefesto, las cuales forjó tan delicadamente en su siempre ardiente taller.

"Bueno"- se dijo- "¡pues qué le voy a hacer! Soy curiosa desde mi creación por Zeus, si me hizo así pues por algo sería, ¿no? ¡Ni modo! Aquí está la llave. ¡Maldito cofre! ¡Una miradita no más! ¡Vamos, no va a pasar nada! Tomó una de las mil llaves, raspó con su daga el sello de parafina con la silueta de Zeus impresa por su anillo real (¡Ja!, como si un sellito endeble me fuera a detener-balbuceo malévolamente), he insertó la llave en la cerradura con el corazón palpitante. ¡Momento! Había olvidado realizar la danza-ritual para invocar al Bien. ¡Listo!-exclamó agitada (ya no era tan joven).

¡Qué no pase nada malo, por favor, qué no pase nada malo!-repetía mientras le daba vuelta a la llave. Escuchó el mecanismo cuando se destrababa. ¡Qué no pase nada malo! Abrió ligeramente el cofre. ¡Por favor! Deslizó adentro su delicada mano y tomó lo primero que tocaron sus delgados dedos. ¡Nada malo! Y cerró el cofre, (lo del sello ya vería como resolverlo luego).

¡Uhy! ¡Qué alivio! ¡ORIGAMI!-gritó.

Nada de Plagas, ni Catástrofes, ni Odios, ni Angustias. Nada de Esperanzas, ni Dichas, ni Alegrías. Algo completamente neutro como ella quería: tan solo dos hojas de papel. Las colocó sobre su mesa de mármol y acercó su candelabro de oro para observarlas bien.

Evidentemente dos CPs se dijo. Pero... ¡Qué raro! Por primera vez sacaba algo repetido del cofre. ¡Ja, Ja!-se rió-¡se equivocó Zeus al empacar todo el contenido del baúl!¡Los dos CPs son exactamente iguales!¡Ja, Ja! Leyó rápidamente el mensaje escrito:

"Si me colapsas, obtendrás una figura con varias caras

y el área de cada una será 1/8 del área de mi tamaño original"

"Ya lo colapsaré-se dijo; y se dispuso a botar el otro CP a la basura. En ese preciso momento...se percató que con el rabillo del ojo había visto algo. No podía precisar exactamente lo que era, pero fue suficiente como para detenerla en su intención. Tomo el papel que iba a botar y leyó el mensaje:

"Si me colapsas, obtendrás una figura con varias caras

y el área de cada una será 1/8 del área de mi tamaño original, también"

"Pues, claro"- se dijo - "allí dice la palabra "también"; pero, ¿cómo que "también"? ¿Qué querrá decir eso?""Evidentemente"-pensaba-"su primera percepción de que Zeus se había equivocado era completamente errada. Pero... ¿como resolver este misterio?"

Por más que escudriñaba, Pandora no veía otra diferencia en los CPs más que la palabra "también". Los tomó afinando su mirada escrutadora y nada. Los revisó de arriba a abajo, de derecha a izquierda, por delante y por detrás, y nada. Llamó a afamados criptógrafos y nada. Los colocó a contraluz en su ventana frente a los rayos que emanan del trono mismo de Zeus y nada. Los puso junto al fuego del taller de Hefesto, por si había tinta invisible y nada. "Los malditos son exactamente iguales"-se dijo con rabia. ¡Qué molesta se le había convertido esa simple palabra: "también"!

Siguió Pandora por veintiún días probando todos los recursos disponibles sin ningún resultado y por fin al vigésimosegundo día se decidió colapsarlos. Siguiendo una intuición y con el recordatorio de la teoría de nodos, marcó las bisectrices primero, le dio vuelta al papel y marcó las mediatrices; colapsó, aplanó y observó.

Tomó la otra hoja y procedió de la misma manera y obtuvo lo siguiente:

"¡Pero...por Zeus! Siguen siendo iguales"-gritó jalándose con fuerza sus cabellos dorados. Este asunto la estaba volviendo loca. Todo su encanto natural y belleza se estaban perdiendo por la ansiedad acumulada del enigma no resuelto. Por fin tomó una decisión: dejaría los CPs colapsados de lado sobre su mesita de noche y se iría a la fiesta que Zeus daba en el Olimpo en honor de los héroes de las Olimpíadas.

Regresó tarde, en la madrugada y, además, venía sumamente cansada: el néctar de los dioses aún le producía zumbidos en sus oídos. Entró a la habitación con gran sigilo para no despertar a Epimeteo, su esposo que dormía plácidamente. Había tomado la decisión de no prender el candelabro de plata sobre su mesita de noche para no tener que ver los CPs colapsados y que le arruinaran su sueño, pero, al quitarse su diadema diamantina una de las gemas más valiosas se le desprendió y ni modo, tuvo que prender la luz. Tal como la lengua acaricia neciamente una ligera herida presente en la boca, así los ojos de Pandora se posaron inmediatamente sobre los papeles.

¡Por Zeus! ¿Qué pasó aquí?-gritó con el corazón palpitante.

Suponiendo lo obvio se abalanzó sobre el pobre Epimeteo sin importarle ya su merecido descanso.

"¡Despierta pero ya!-le ordenó.

Pero, ¿qué pasa, mi amada Pandora?-interrogó soñoliento.

Estuviste tocando mis papeles, ¿verdad?-le increpó.

¡Pero solo un ratito!- contestó con inocencia- No creía que fuesen importantes.

Pero ¿Cómo me dices eso?-dijo- ¿Acaso no me has visto por veintitrés días, con esos papeles en mis manos y como loca? ¿Cómo vas a creer que no sean importantes? Bueno, ¡está bien! solo dime, ¿qué hiciste exactamente?

Entre los vapores de la soñolencia Epimeteo le contestó:

¡Pues realmente nada! Tomé uno de los papeles, lo desdoblé un poco y le hundí el centro. Luego lo coloqué de nuevo sobre la mesa y ya, nada más.

Quedose Pandora perpleja. "Le hundí el centro"-repitiendo las palabras que aún retumbaban en el aire. ¡Pues claro! ¡Ja, Ja Ja!-rió alegremente- allí está la respuesta a una de las interrogantes. Y corrió hacia su mesita de noche, rebosante de alegría y renovada en todos sus aspectos, tal como si estuviese saliendo de los vaporosos baños a los pies del Vesubio.

B) INTERMEZZO

Hagamos un paréntesis mientras dejamos a Pandora extasiada con sus papeles. En la entrada denominada: Papeles en Tensión señalamos el primer acertijo de la resolución de CPs que consiste en cuál sea la dirección de los dobleces: valle o montaña y que llamamos como la Primer Incertidumbre Espacial: que en un CP no sabemos la dirección de cada doblez: podría se valle o montaña. Ahora nos toca señalar el segundo acertijo:

ACERTIJO No. 2

¿Cuál es la posición de cada nodo a la hora de colapsar la base?

Esta es por lo tanto la Segunda Incertidumbre Espacial: en un CP no sabemos la dirección de cada nodo. Los nodos pueden ser cóncavos o convexos con respecto a la persona que los observa. O sea, pueden alejarse de uno como si fuesen un hueco o pueden proyectarse hacia adelante como si fueran el pico de una montaña. Esperemos que pronto podamos encontrar luces que nos ayuden a por lo menos tener algunos criterios que aminoren el efecto de ambas incertidumbres (un adelanto: entre más dibujos y fotos de la base colapsada o del modelo y entre más ángulos diferentes se muestren, pues mayores serán las probabilidades de resolver el CP). Por ahora, mantengámonos de la mano de Pandora para entender un poco más estos extraordinarios conceptos del origami.

C) EL SEGUNDO ENIGMA

Aun con todo lo cansada que se sentía no pudo dormir, por supuesto. Entres sus dedos el CP, como por arte de magia, se pasaba de ser un cuadrado a ser un triángulo y viceversa, con tan solo hundirle el centro. Y así se pasó por el resto de las horas de la madrugada tratando de entender el misterioso mecanismo físico que gobierna tan sorprendente transformación. Uno de los aspectos que más la extasiaba era percatarse como el movimiento del nodo central no afectaba para nada la dirección de ninguno de los rayos, lo cual revelaba el por que ambos CPs eran idénticos y les digo un secreto: idénticos serán también los CPMV.

"Evidentemente, el cuadrado es la base preliminar-meditaba Pandora- que se convierte en la base bomba de agua que es triangular. Un CP perfectamente simétrico, con una hermosa simetría radial. Cuatro ejes de simetría y por lo tanto ocho rayos que se encuentran en un único nodo en el puro centro del papel. El ombligo del CP-y se rió.

Mientras transcurría la transformación del CP entre sus dedos, se fue percatando, poco a poco, que cada transformación generaba un área que es un cuarto del área del cuadrado original y entonces...¿por qué la leyenda dice un octavo? De nuevo sintió la angustia renacer en su interior. ¿Acaso pasarán otros veintidós días para resolver esta segunda parte del enigma? No, ¡por favor!

Los primeros rayos de luz se filtraron por el multicolor vitral de su ventana y con ellos recordó la definición de CP, que ella misma había inspirado a los miembros del Grupo Origami Patrones para su ejecución.

CP (tomado de las iniciales en inglés de "crease pattern") es un conjunto de líneas, trazadas en una hoja de papel, que indican la ubicación de los pliegues estructuralmente importantes, de una figura de origami; y que, doblados en la dirección y secuencia correcta, son suficientes para llegar a alguna de las etapas de doblado, ya sea la base o el modelo final, según sea la intención de su creador.

La leyó y releyó muchas veces, pero siempre una de las frases se le quedaba grabada en su mente y parecía florecer entre las otras. "ESTRUCTURALMENTE IMPORTANTES"-recalcó. Súbitamente dijo: "Pues claro, allí está la otra respuesta. Cada rayo del CP debe ser estructuralmente importante; por lo tanto (seguía concluyendo en un estado de claridad mental) estos no son los CPs de las bases tradicionales (preliminar y bomba de agua) pues estos CPs tal como están, no representan figuras planas sino modelos tridimensionales". "Y ahora puedo ver claramente el por qué, la leyenda dice un octavo del área del cuadrado original"- concluyó.

"¿Lo ves tu también, mi querido Epimeteo?- consultó con creciente entusiasmo a su más que aburrido esposo-¿Lo ves?

Ahora si podría dormir tranquila. Desde fuera se dejó oír la voz potente de Zeus: "¿Pandora? ¿Volviste a abrir el cofre, verdad?"

¡Que desgracia!- se dijo-¡Definitivamente hoy no podré dormir!

D) EL TERCER ENGIMA O LA CONVOCATORIA DE ZEUS

"Desde mi fulgoroso, radiante e iridiscente trono, YO, ZEUS, Primero entre Todos, el Principal del Olimpo, Dios del Cielo y del Trueno, Hijo de Cronos y Rea,

CONVOCO,

a todos los sublimes ORIGAMISTAS y APRENDICES, a enviar a nuestro Inclaudicable Secretario Eric Madrigal, a su Electrónico E-MAIL: eric_madrigal_cr@hotmail.com , la solución al Tercer Enigma, planteado por la Siempre Imprudente PANDORA

¿CÓMO ES, ESTRICTAMENTE HABLANDO,

EL CP DE LA BASE PRELIMINAR Y EL DE LA BASE BOMBA DE AGUA?

¿CUAL ES LA DIFERENCIA ENTRE AMBOS?

Aquellos Afamados que logren mostrar y demostrar la Solución, se harán acreedores de los siguientes Premios:

1. Una Corona de Laureles
2. Los Diagramas del Blue Egg Phoenix Goldfish en su Versión Segunda

El Resumen de la Solución será colocado en este mismo Sitio, una Semana después de esta Publicación, Día que por supuesto se dará por concluído Solemnemente el Certamen"

Nota: Aplican restricciones.

____Ζεύς __________

ZEUS OLIMPICO

Fotos cortesía de Elerth Leiva, Cuzco, Perú.

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 21

2007-03-21T13:00:00.000-07:00

DIA 21 DE MARZO

La serie de Fibonacci aparece también en la genealogía de ciertas especies. Es el caso de los machos o zánganos de una colmena. La clave está en que las abejas hembras de la colmena nacen de los huevos fertilizados (tienen padre y madre), mientras los machos o zánganos nacen a partir de huevos no fertilizados, o lo que es lo mismo, sólo tienen madre. De esta forma, sus árboles genealógicos siguen estrictamente una distribución de Fibonacci: un macho (1) no tiene padre, sino una madre (1,1), dos abuelos - padres de la reina - (1,1,2), tres bisabuelos - porque el padre de la reina sólo tiene madre - (1,1,2,3), cinco tatarabuelos (1,1,2,3,5), etc.

CONTINUACION...

Les muestro un resumen de las proporciones para las siguientes dos bases tradicionales del origami japonés:

Diego Quevedo se quedó absorto por la magnificencia de la sabiduría que brotó de aquel manuscrito. Una matemática clara, útil y por supuesto eficiente. Diego volvió a ver su CP y se sintió heredero de grandes y antiguas tradiciones. Su pasión quedó doblemente afirmada: el ancestral origami de la cultura oriental y la maravilla de los conceptos matemáticos de la cultura occidental contenidos en su CP y entendió que la diversidad de las culturas humanas es realmente un bien en si mismo. Todo suma, nada resta se dijo.

En la tranquilidad de su apartamento, Diego procedió a doblar una vez más su modelo y nos envió una hermosa postal de su modelo de origami así como otros materiales de utilidad. El material recibido en nuestra Oficina de Redacción lo mostramos amablemente a nuestros lectores a continuación:

CONSIDERACIONES FINALES

Estimados lectores:

Se que ha sido arduo el camino recorrido, pero las ventajas en el aprendizaje de los conceptos matemáticos que se relacionan con la resolución de CPs son extremadamente grandes. Deseo indicarles tres cosas importantes:

1. Dado que no existe (o no ha llegado a mis manos) una historia oficial del origami construida con todo el rigor científico, no existe tampoco criterios unificados sobre si la cultura mozárabe del sur de España y norte de Africa conoció, de alguna manera, los procedimientos del origami japonés. Engel en su libro "Origami. From Angelfish to Zen" indica que tal encuentro cultural si existió. En cambio David Lister dice: "Yet sadly, although we know plenty about Islamic paper making, we know nothing whatsoever about Arab and Moorish paper folding. Now it may be that more information may come to light in the future, but until it does, we are not entitled to say that the Arabs or the Moors practised paper folding or that they brought it with them to Spain. Any statement to the contrary is mere conjecture and not fact". La última frase es contundente: "cualquier afirmación sobre lo contrario ( sobre si los moros o los árabes doblaron papel) es meramente una conjetura y no un hecho". Incluso señala que dado que Engel menciona sus fuentes de información, se puede ver de donde heredó el error de sus afirmaciones. Espero que algún día un erudito de la historia, tal como Robert Lang con la matemática computacional, elaboré una historia certera del Origami y que logre obtener buenas bases para sus afirmaciones. De lo contrario, que la historia juzgue a los Reyes Católicos por la expulsión de los moros de España y a la Segunda Guerra Mundial por la destrucción de las antiguas tradiciones japonesas. Falta decir, como bien dice Lister, toda la web está inundada del mismo error.

2. El presente estudio se basó en la excelente página web del origamista japonés Yama y en particular las siguientes dos páginas:

http://origamiyama.hp.infoseek.co.jp/hiritu-00.htm http://origamiyama.hp.infoseek.co.jp/hiritu-01.htm

En la primera de las páginas se establecen los teoremas, sin embargo, y eso afectó muchísimo mi entendimiento matemático de estas páginas, no aparece el teorema de Thales (o de la paralela). Teniendo en mente los tres teoremas, es sumamente fácil y útil el entendimiento de la siguiente página. Esta página es una colección de muchas de las referencias que han utilizado los grandes origamistas para sus modelos y contiene una gran riqueza de información que se puede utilizar tanto para la creación de nuevos modelos de origami como para la resolución de CP. En Un Manuscrito Sorprendente hemos analizado profundamente y a conciencia la primera fila que contiene las referencias de las bases tradicionales: base cometa y base pez. La base pez, la resuelve Yama directamente del corolario, lo cual es más fácil; sin embargo, yo he querido seguir el camino más largo, utilizando los dos teoremas, el de la bisectriz y el de Thales, para que entonces, resulte más clara la resolución de las siguientes filas. En las futuras entradas de este blog, volveremos constantemente a esta importante página.

3. Felicito a todos los que lograron determinar que el día 21 de marzo sería la publicación de la última parte de esta entrada. Como ya sabrán la entrada de UN MANUSCRITO SORPRENDENTE fue entregada siguiendo la siguiente serie de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 y 21. Esta serie matemática recibe el nombre de Serie de Fibonacci (NOTA: para los amantes de las matemáticas más profundas favor ver el ADDENDUM abajo). Estrictamente la serie comienza con el número 0, pero no supe como incluirlo dentro de las fechas. Una importantísima particularidad es que el límite al infinito de la división de dos números consecutivos de Fibonacci es el número áureo, el cual es considerado desde hace mucho como la proporción perfecta de las cosas:

y el número áureo es

Los invito a visitar una excelente página web sobre estos aspectos relacionados con la naturaleza que me refirió Carlos Luna donde incluso se puede elaborar la representación gráfica de los rectángulos áureos que a su vez generan la Espiral de Durero. En Origami el uso de la razón áurea se puede ver, por ejemplo, en el doblado del Pentágono óptimo. Bueno, estimados lectores, hemos llegado al final de UN MANUSCRITO SORPRENDENTE y para finalizar los dejo con esta foto un enjambre de Abejas Doradas de Diego en la que cada una ha sido doblada en un papel que aumenta su tamaño de acuerdo a la serie de Fibonacci:

Aquellas personas que desee una copia de UN MANUSCRITO SORPRENDENTE en formato pdf me pueden escribir a eric@internetelfaro.com. Además les agradecería profundamente me den sus comentarios sobre que les ha parecido esta extensa entrada del mes de marzo.

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal V.

Asociación Costarricense de Origami

ADDENDUM: Don Oscar Rojas, de la Asociación Costarricense de Origami y creador de la famosa Garza Real, señaló que el último día de la publicación es el 31 de marzo. Para su razonamiento, no utilizó la serie de Fibonacci sino un renombrado teorema de polinomios de la teoría de aproximaciones (Tchebycheff): siempre es posible generar un polinomio cuya gráfica pase exactamente por un número finito de puntos. "Entonces pude haber escogido cualquier otra solución y encontrar el polinomio respectivo" nos enseña don Oscar. La solución encontrada por don Oscar es la siguiente:

"La secuencia responde a este curioso polinomio que desarrollé:

P(n)=A1*n^8+A2*n^7+...+A8*n+A9

En donde los coeficientes son:

A1= 0,000248015873016093

A2= -0,010515873015880300

A3= 0,186805555555638000

A4= -1,806944444444820000

A5= 10,352430555555500000

A6= -35,661111111104500000

A7= 71,460515872992500000

A8= -74,521428571397400000

A9= 31,000000000000000000

Coincidencialmente P(n) genera valores idénticos a la serie de Fibonacci para valores enteros de n desde 1 hasta 8, pero P(9)=31... y esa es la trampa matemática oculta. Los resultados son exactos hasta 7 decimales. "

Agradezco a don Oscar por esta solución y por supuesto que se ganó el CP del Pudu de Elerth.

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 13

2007-03-13T11:41:00.000-07:00

DIA 13 DE MARZO

Desde hace varios siglos,

los científicos saben que las abejas

les cuentan a sus compañeras los descubrimientos

que hacen fuera de la colmena.

En las últimas décadas los investigadores

descifraron muchos de los enigmas

relativos a la comunicación de estos insectos.

Cuando una abeja encuentra una fuente de alimento

vuelve a la colmena y les pasa el chisme

a sus congéneres por medio de un baile frenético.

Ileana Lotersztain

CONTINUACIÓN ...

Aquellos nuevos lectores deben ingresar a las anteriores entradas para entender el transcurso de la presente publicación:

UN MANUSCRITO SOPRENDENTE 1A
UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 1B
UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 2
UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 3
UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 5
UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 8

Las interrogantes que habíamos planteado en la entrada anterior son resueltas por los sabios en el Manuscrito a través del estudio de la base del pez. Volvamos con ellos y analicemos profundamente sus procedimientos:

F) PROPORCIONES EN LA BASE PEZ

Para la determinación de las proporciones de la base pez se parte, no ya de un cuadrado de lados unitarios, sino de un cuadrado de lado ( aunque sabiendo de antemano que si marcamos la línea de la base cometa sabremos donde quedará cada segmento de recta). Para este cuadrado, ¿cuánto medirá la diagonal?

FIG. 1

Se muestra tanto el procedimiento analítico como aquel utilizando las técnicas del origami. Si se aplica el teorema de Pitágoras se obtendrá:

La otra forma consiste en doblar el lado sobre la diagonal y considerar la siguiente figura, donde se ha marcado en amarillo el triángulo isósceles y rectángulo superior:

FIG.2

por lo tanto, se realiza una suma simple:

(Diego Quevedo prosiguió asombrándose de la facilidad con que muchas cosas de las matemáticas quedan resueltas mediante el uso del origami y se prometió a si mismo a desarrollar un proyecto de análisis de los aspectos matemáticos básicos utilizando el origami con los estudiantes de la Carrera de Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad de Bogotá.)

Por lo tanto, el siguiente es el cuadrado que se utilizará para el análisis de las proporciones de la base pez:

FIG. 3

Una vez marcada la línea de la base cometa y sus proporciones, se procede a marcar la otra bisectriz:

FIG. 4

Ahora la atención debe centrarse en el triángulo ABC marcado ( FIG. 5). Como se observa, dos de los lados de este triángulo miden BC= y AB = ; además, la bisectriz BD (línea en azul) del ángulo de 45º que forman estos dos lados, corta al otro lado CA en dos segmentos CD = X y DA = Y :

FIG. 5

Entonces si se aplica el Teorema de la bisectriz del ángulo , se obtendrá el resultado mostrado a continuación:

FIG. 6

Seguidamente la atención debe dirigirse al siguiente triángulo ABC de la FIG. 7. En él se ha marcado con azul un segmento de recta DE que es paralelo al lado BC y que divide los otros dos lados AB y CA en dos pares de segmentos: los segmentos AD = y DB = y los segmentos CE = X y EA = Y, tal como se muestra a continuación:

FIG. 7

El paso siguiente consiste en aplicar el Teorema de Thales (de la paralela), para el cual se obtendría el siguiente resultado:

FIG. 8

Aplicando un poco más de matemáticas, se obtiene un valor más adecuado de las proporciones al convertir uno en un valor unitario; para ello basta con multiplicar en ambos términos por raíz de dos medios:

El siguiente diagrama muestra las proporciones de la base pez:

FIG. 9

Finalmente, se pudo haber sacado la misma conclusión de una manera más directa al aplicar el Corolario. Para ello se debe rotar un poco el diagrama y considerar los siguientes triángulos ABC y BCD ( FIG. 10) que comparten el mismo lado BC. El segmento EF es perpendicular al lado BC y lo divide en dos segmentos BF = X y FC = Y, entonces aplicando el corolario obtenemos :

FIG. 10

Bueno, estimados lectores, aquí termina el Manuscrito sorprendente. Los sabios no colocan ninguna conclusión, ni últimas palabras. Más pareciera que su deseo es dejarnos en una contemplación de sus estudios para que los asimilemos adecuadamente.

Pero quedan aún algunas interrogantes por comprender: a decir verdad, ¿qué será todo ese asunto de las abejas?, ¿cómo se resolverá el enigma de las fechas? Todo será revelado el día final de la publicación, que es el ... de marzo del 2007.

CONTINUARÁ...

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 8

2007-03-08T09:17:00.000-08:00

DIA 8 DE MARZO

CONTINUACION...

Aquellos nuevos lectores deben ingresar a las anteriores entradas para entender el transcurso de la presente publicación:

UN MANUSCRITO SOPRENDENTE 1A

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 1B

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 2

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 3

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 5

En la publicación anterior quedamos en una breve explicación sobre el concepto de proporciones y advertimos que la misma no pertenecía propiamente al manuscrito pues pareciera que los sabios lo consideraron como obvio. Hoy, volvemos a fijarnos en el documento:

D) SOBRE LAS PROPORCIONES EUCLIDIANAS

Los sabios entresacan del libro Los Elementos de Euclides aquellos teoremas que utilizarán más adelante. Estos teoremas se encuentran en el libro sexto que trata precisamente del tema de las proporciones. Veámoslos tal y como están expuestos en el opúsculo:

TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ANGULO

En un triángulo cualquiera, la bisectriz de uno de los ángulos corta al lado opuesto a ese ángulo en dos segmentos que son proporcionales a los lados adyacentes correspondientes

TEOREMA DE LA PARALELA A UNO DE LOS LADOS

Si una recta corta a un triángulo y es paralela a uno de los lados del mismos, entonces los segmentos de un lado guardan la misma proporción que los segmentos del otro lado.

Este es realmente el Teorema de Thales de Mileto, tal y como nos lo indican los sabios.

COROLARIO

Si dos triángulos rectángulos...las hipotenusas se cruzan en un punto...que un segmento de recta corta perpendicularmente....

Lastimosamente, las frases anteriores fueron las únicas que se pudieron reconstruir. En este punto, el manuscrito está sumamente deteriorado. Por dicha, uniendo muchísimos pedacitos se logró reconstruir, al menos, el dibujo del corolario.

Pues bien, estos son los tres elementos matemáticos que los sabios utilizarán para analizar las marcas dejadas en el papel por el proceso de doblado; y sin más preámbulo veamos su estudio de la base cometa.

E) PROPORCIONES EN LA BASE COMETA

Los sabios parten de un cuadrado de lados unitarios y con la diagonal trazada calculan, utilizando el teorema de Pitágoras el valor de la misma:

Ahora, nos fijamos exclusivamente en uno de los triángulos isósceles y rectángulos que quedan a ambos lados de la diagonal. Hemos marcado con rojo dos de los lados del triángulo y que forman un ángulo de 45º. El triángulo está conformado por dos lados unitarios y un lado de valor raíz de 2. Realizamos una bisección del ángulo de 45º , tal como se realiza para formar la base cometa, generando dos ángulos de 22.5º. Veamos:

Esta bisectriz corta a uno de los lados unitarios en dos segmentos X y Y . Nos preguntamos, entonces, ¿en qué proporción están estos segmentos?

Para responder esta pregunta aplicamos el teorema de la bisectriz. Entonces:

O sea, el segmento X es proporcional a 1 tal como el segmento Y es proporcional a raíz de 2. Y los segmentos entre sí tendrán esta misma proporción 1 a raíz de 2. Si tenemos un cuadrado cuyo lado mida entonces, al trazar la línea de la base cometa sabremos cual segmento mide 1 y cual mide raíz de dos en las proporciones mínimas.

Las siguientes interrogantes, por lo tanto, serán:
Para un cuadrado cuyos lados miden , ¿cuánto medirá la diagonal? ¿Cómo afectará esto a las proporciones en la base pez? Los sabios nos darán la pauta a seguir.

CONTINUARA...

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 5

2007-03-05T10:42:00.000-08:00

DIA 5 DE MARZO

La abeja reina no abandona la colmena,
salvo durante los vuelos de fecundación,

o cuando se produce un enjambre para

dar lugar a una nueva colonia.

La reina deposita sus huevos,

en panales de cera que las obreras

construyen con celdas hexagonales.

WIKIPEDIA

CONTINUACION...

Aquellos nuevos lectores deben ingresar a las anteriores entradas para entender el transcurso de la presente publicación (UN MANUSCRITO SOPRENDENTE 1A y UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 1B, UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 2, UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 3)

En el tercer día de esta publicación, quedamos en que los sabios pasaron muchos días en profundas discusiones matemáticas. Analizaban algunos teoremas y su relación con las marcas dejadas por el proceso de doblado en el papel. Dijimos que, en la tercera parte del manuscrito, Averroes hace un análisis del Incentro. Pero, ¿qué es el incentro?

C)TRIANGULOS Y BISECTRICES

En el libro IV de Los Elementos, Euclides establece un elemento matemático de gran importancia y relacionado con los triángulos: para cualquier triángulo, las bisectrices de los tres ángulos se cruzan en un solo punto dentro del triángulo. Ese punto se llama Incentro. Veámoslo para dos tipos cualesquiera de triángulos:

Loss dibujos anteriores son entresacados del manuscrito. Averroes explica que al incentro, aplicado a la técnica de doblado de papel, él ha decidido denominarlo con la letra epsilon del alfabeto griego en honor a Euclides.

A continuación se muestra, en el documento, la base pez del origami japonés y los sabios analizan, con gran acierto, como las líneas que conforman esta base, y para cada uno de los triángulos isósceles y rectángulos con que el papel cuadrado queda dividido por la diagonal, son bisectrices de los ángulos y se encuentran en un solo punto. De esta manera comprueban el teorema de Euclides.

Por lo tanto, pensó Diego, la base pez es una comprobación bastante práctica y visual de este teorema euclidiano. ¿Por qué los profesores matemáticos no utilizarán más las técnicas del origami para la enseñanza? ¡Qué útil conclusión la de esta parte del opúsculo!. En el Origami actual, los nodos euclidianos aparecen en casi todos los CPS y hay que aprender a identificarlos dentro del proceso de resolución.

CUARTA PISTA

IDENTIFICAR LOS NODOS EUCLIDIANOS

(Recordemos que las otras pistas se encuentran en PAPELES EN TENSIÓN). Otro aspecto importante, siguió pensando Diego, es que todos sabemos el procedimiento de doblado para obtener los nodos euclidianos, a saber, el denominado doblado de oreja de conejo o "rabbit ear fold".

Mientras revisaba el documento, Diego pensaba en la fina intuición de la bibliotecaria; puesto que, en medio de la complejidad de rayos y nodos de su CP pudo percatarse de las líneas marcadas de la base pez y relacionarla con el documento. De seguro ella sería una excelente "resolvedora" de CPs, meditó y se sonrió.

Veamos nuevamente el CP de Diego y preguntémonos, estimados lectores, ¿cuántos nodos euclidianos hay en él?:

D) SOBRE LAS PROPORCIONES EUCLIDIANAS

Hemos llegado al "quid" de la cuestión, al "sancta sanctorum" del documento, las proporciones euclidianas; pero, ¿qué es una proporción?

Las proporciones tienen que ver directamente con las razones o las fracciones o la relación que existe entre dos cantidades A y B. Matemáticamente se expresa como A/B; tal como 3/5, 1/8, 13/21, etc; y por supuesto, esto es una división como en 8/4 = 2.

Entonces, podemos comprobar proporciones al establecer una relación matemática entre dos fracciones, o sea entre cuatro cantidades A, B, C y D, de modo tal que se cumpla la siguiente proposición:

A/B = C/D

o sea que si dividimos A entre B se obtiene el mismo resultado que si dividimos C entre D.

Veámoslo con un ejemplo sencillo. Las cantidades son 6, 3, 10 y 5 y establecemos que:

6/3 = 10/5 y realizando la división obtenemos

2 = 2. Entonces decimos que seis tercios tiene la misma proporción que diez quintos.

Para comprobarlo se utiliza el conocido método cruzado:

o sea A X D = B X C, aplicando en el ejemplo:

6 X 5 = 10 X 3; o sea, 30 = 30; ¡comprobado!

La forma más común de encontrar expresadas las proporciones es:

A : B :: C : D

que se lee: A es a B como C es a D; o sea A es proporcional a B de la misma manera que C es proporcional a D.

Encontrar proporciones es uno de los métodos más potentes del pensamiento humano y, por lo tanto, como los CPs pertenecen a la genialidad humana, también es un método potente para su resolución.

Como ustedes bien entenderán, la anterior exposición sobre el concepto de las proporciones no pertenece al manuscrito ( suponemos que los sabios lo dieron por obvio) pero creo que era necesario expresarlo para el buen entendimiento de lo que los sabios procederán a estudiar. Pero entonces, en relación a las Proporciones Euclidianas, ¿cómo proseguirá el documento?

CONTINUARA...

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 3

2007-03-03T09:50:00.001-08:00

DIA 3 DE MARZO

Las abejas son manipuladas para obtener muchos

productos destinados al uso humano; miel, cera,

polen, jalea real y veneno. Son insectos inteligentes

que han sido descritas como poseedoras de unos

complejos sistemas de comunicación superados

sólo por los de los seres humanos.

Las Abejas y la Miel.

CONTINUACION...

Aquellos nuevos lectores deben ingresar a las anteriores entradas para entender el transcurso de la presente publicación (UN MANUSCRITO SOPRENDENTE 1A y UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 1B, UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 2)

En el segundo día de la presente publicación, quedamos en dar un vistazo a las conclusiones de los eruditos que estudiaron el documento y sin más proseguimos:

ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO
MOZARABICO-JAPONES Y SUS
IDEAS PRINCIPALES

A) LA PORTADA

El escritor dice ser Abū l-Walīd Muhammad ibn Ahmad ibn Muhammad ibn Rushd, más conocido como Averroes, quien naciera y viviera en Andalucía, sur de España, entre el 1126 al 1198. Averroes fue un hombre erudito que cultivo todas las ciencias y que influyó fuertemente en la filosofía escolástica medieval. El título es: Sobre Proporciones Euclidianas. Además aparece el CP de la base pez del origami tradicional japonés y con los nodos exquisitamente remarcados por dos estrellas doradas y con la letra epsilon haciendo una clara referencia al sabio griego Euclides. Debajo de la base pez aparece de manera repetitiva el símbolo japonés que representa la palabra SAMURAI. Lastimosamente, el documento no aparece datado, lo cual consideran los eruditos es una lamentable omisión que puso a muchos a dudar sobre su autenticidad.

Para que puedan ustedes comparar lo sorprendente de esta portada les deseo mostrar el CP de la base pez y dos de sus CPMV y bases colapsadas:

B) INTRODUCCIÓN

La introducción está contenida en dos páginas y relata como Averroes fue visitado por un monje y guerrero samurai quien había decidido seguir las caravanas de la ruta de la seda para buscar los elementos de las sabidurías de occidente. El guerrero le mostró a Averroes un antiquísimo arte que consistía en el doblado de hojas de papel y que era utilizado en Japón, tanto para fines diplomáticos como para la meditación de los guerreros. En una ocasión, sigue el relato, el monje guerrero dobló y desdobló la hoja que estaba utilizando y un rayo de intelectualidad pura brilló en la mente del sabio moro. Ahora todo se le develaba con gran claridad. Esas marcas dejadas en el papel por el procedimiento de doblado debían guardar, matemáticamente hablando, una relación con los diferentes postulados del libro Los Elementos de Euclides y que él había conocido a través de la traducción al árabe que realizara al-Hajjaj de la Casa de Sabiduría en Bagdad.

Durante varios días se encontraron los sabios para analizar profundamente las líneas dejadas en las hojas de papel y los postulados de Euclides y como el mismo Averroes escribe en esta introducción: "El libro VI de los Elementos fue una fuente inmensa de inspiración y mi amigo el monje japonés no dejaba de encontrar vínculos entre los teoremas matemáticos y las líneas; incluso una vez, completamente concentrado, lanzó un suspiro y señaló algo sobre que interesante hubiese sido que Euclides hubiera conocidos estas ancestrales técnicas japonesas; a lo cual le respondí que por supuesto"

Hoy se sabe que lo que los sabios estuvieron estudiando tan detenidamente fue nada mas y nada menos que los dos CPs de las bases tradicionales del origami japonés, a saber, la base cometa y la base pez.

Después de la introducción el opúsculo continúa con una interesantísima exposición sobre el Incentro, el cual es estudiado en el Libro IV de los Elementos. Veamos un resumen de esta exposición la cual tiene una importantísima relación con el Origami como ustedes ya entenderán.

CONTINUARA...

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 2

2007-03-02T08:09:00.001-08:00

DIA 2 DE MARZO

Picarse, aún sin estar enfermo, es algo saludable en sí mismo.

No lo dude, píquese con las abejas. Ellas dan su vida por usted.

Sea prudente en su relación con ellas y procure ir con alguien

experimentado. Además debe saber si es alérgico.

Manual de Apiterapia

CONTINUACION...

Por supuesto que aquellos nuevos lectores deben ingresar a las dos anteriores entradas para entender el transcurso de la presente publicación (UN MANUSCRITO SOPRENDENTE 1A y UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 1B)

Hemos dejado a Diego Quevedo frente a una caja de madera muy elegante y dentro de ella un libro misterioso. Diego ha extraído el libro y está presto a ver la primera de las páginas y, por lo tanto, continuamos...

Al ver la página frontal, un escalofrío recorrió todo su cuerpo. Pero, ¿por qué? ¿Qué podía intuir aquel estudiante universitario, amante del Origami y de los CPs? No sólo era, por supuesto, la belleza del documento, había algo más intrínseco, algo como un llamado interno o una intuición mística de que aquel era el primer momento del descubrimiento de un documento increíblemente importante.

Demos un vistazo a la página frontal que impresionó tanto a Diego, tal como se encuentra actualmente en la Biblioteca de Bogotá después de la restauración realizada por el Departamento de Restauración de Documentos Antiguos de la Universidad bogotana y que es presentada al público junto con sus 21 páginas para la Ia. Exposición de Literatura Antigua: UN MANUSCRITO SORPRENDENTE.

El azar había jugado una excelente partida y había presentado el documento a la persona indicada. Diego es uno de los pocos que pudo percibir lo que otros no pudieron. Inevitablemente se preguntaba que podría estar haciendo en este antiquísimo documento (o por lo menos eso lo suponía) una elegante base pez del origami japonés tradicional, con sus nodos marcados por estrellas y la letra epsilon del alfabeto griego; y en medios de esos caracteres que parecen escritos en idioma árabe, unos caracteres que, si más no se equivocaba, pensaba, debían ser escritos en idioma japonés. Múltiples interrogantes se le presentaban.

A partir de aquel momento, Diego se abocó con energía a mover todas las piezas pertinentes del ajedrez para lograr llegar al meollo de tan intrigante asunto. Después de varias entrevistas con el director de la biblioteca y la visita de varios insignes intelectuales, el documento fue llevado a la Universidad de Bogotá para su estudio e inmediato proceso de restauración y preservación.

Tres interminables meses se tomó la Universidad para la traducción del documento, otros cinco meses para su restauración, y aún, hoy en día, mientras transcurre esta presentación al público, se están realizando, en Alemania, las pruebas de carbono 14 para su correcta datación y verificación de la autenticidad.

Demos un vistazo a las principales conclusiones contenidas en el Ier. Informe elaborado por la Facultad de Filología y Literatura Antigua de la Universidad de Bogotá y titulado:

ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO

MOZARABICO-JAPONES Y SUS

IDEAS PRINCIPALES

CONTINUARA....

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 1B

2007-03-01T10:05:00.000-08:00

DIA 1 DE MARZO

SEGUNDA PARTE

...CONTINUACION

Quedamos con Diego en la biblioteca de Bogotá (UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 1 A). Algo extraño está por ocurrir pues la bibliotecaria se ha quedado muy pensativa al ver el CP que Diego tenía sobre la mesa. Diego se sobresalta y ...continuamos.

Ahora la bibliotecaria se percata de su presencia y le dice: - ¡Disculpe caballero! Pero es que esa hoja con esas marcas sobre ella me trajo a la memoria un documento que hace un tiempo vi entre los estantes del área de documentos antiguos, mientras realizaba labores de limpieza de los valiosos volúmenes.-

-¿ A que se refiere usted?, señorita- consultó Diego.

-Pues es un documento lleno de unos garabatos muy hermosos y con unas figuras aún más bellas, como de oro, que lo adornan en todas sus páginas. Se ve que es muy antiguo y allí aparecen unos dibujos parecidos a eso que usted tiene en el papel- respondió.

Un gigantesco rayo de curiosidad invadió el corazón de Diego. -¿Podría verlo?- fue su respuesta.

Diego fue conducido hasta una moderna habitación donde el aire acondicionado revelaba el concepto de la preservación. Era la sala de documentos antiguos.

A los pocos minutos volvía la bibliotecaria con un hermoso estuche de madera labrada que colocó sobre la mesa. Diego, conteniendo su ansiedad procedió a abrir con suma delicadeza las aldabas de bronce que sujetaban la tapa. Adentro, una cubierta de cuero trabajada por expertos talabarteros, según se dejaba ver, presagiaba la antigüedad de su contenido. Sacó el libro de su elaborada caja y procedió a abrir la primera página. ¿Qué será este libro? -se preguntó.

CONTINUARA...

UN MANUSCRITO SORPRENDENTE 1A

2007-03-01T07:47:00.000-08:00

DIA 1 DE MARZO

PRIMERA PARTE

INTROITO

Estimados lectores:

Sin contar la entrada denominada UN REGALO DE NAVIDAD, que fue una entrada especial, han pasado tres meses desde que dejamos el tema de los CPs con el estudio de la base cometa usando ejes cartesianos para determinar los puntos de referencia. Durante estos tres meses estuve luchando fuertemente para entender a profundidad una problemática matemática y así proceder a la siguiente publicación. O sea, tres meses me tomé para entender el fundamento matemático de esta entrada y así brindarles a todos ustedes con la mayor claridad posible este estudio de la base pez y sus fundamentos. Esto nos adentra un poco más en la adecuada interpretación de los CPs. Como bien les he dado a entender, hasta este momento y en este blog en particular lo importante es que ustedes al ver un CP, lo más complejo que este sea, puedan reconocer que el creador utilizó para su elaboración las referencias de la base cometa o de la base pez. Esto significa que el camino que nos falta por recorrer para resolver CPs aún es bastante largo (todas las demás bases tradicionales, las nuevas bases, los nuevos procedimientos origamisticos, etc). Sin embargo, se que cuando lleguemos a la meta sabremos dominar con claridad todos los conceptos que acompañan intrínsecos a los hermosos CPs, colapsar la base y, más aún, invitar o tentar a que de manera privada cada uno intente llegar hasta el modelo final del creador.

Para terminar debo decirles que esta publicación será realizada de una manera muy particular. Se harán varias entregas durante todo el mes de marzo, pero no más allá. Por supuesto, habrá un acertijo en todo esto y el que lo logre adivinar recibirá como premio el envio del CP del Pudu de Elerth Leiva del Cuzco, Perú. Son dos preguntas, que ha su vez pueden servir de pistas: 1. ¿Cuál será el día de la publicación final de esta entrada? 2. ¿En qué basó su conclusión? Las respuestas me las envían a eric@internetelfaro.com colocando su dirección.

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de Origami

EL HALLAZGO

Anoche, cuando dormía,
soñé, ¡bendita ilusión!,
que una colmena tenía
dentro de mi corazón;
y las doradas abejas
iban fabricando en él,
con sus amarguras viejas,
blanca cera y dulce miel.

Antonio Machado.

Nadie sabe con certeza como llegó aquel manuscrito tan finamente decorado y con esa impresionante caligrafía a la Universidad de Bogotá. Pero más aún, resulta inverosímil que durante tantísimos años haya permanecido allí entre los estantes si ser si acaso apenas notado. Suponemos que los bibliotecarios, al no poder sortear las barreras idiomáticas se contentaron con observar las filigranas impresionantes, y, tal vez, alguno que otro se habrá fijado apenas en los minuciosos dibujos que llenaban sus páginas. Lo que se descubriría posteriormente sobre la naturaleza del documento dejaría estupefacto a todo el planeta.

Pero antes debemos remontarnos a aquella fresca tarde de noviembre cuando Diego Quevedo, origamista y estudioso de los CPs, decidió revisar que libros de origami habría en la biblioteca de su ciudad, Bogotá. Unos cuantos interesantes libros para niños no despertaron de manera contundente su atención; y aunque pudo irse de inmediato, le pareció buena idea permanecer un rato en aquel silencioso recinto, antes de volver a salir a las calles, abarrotadas de transeúntes y vehículos, de la capital.

Traía consigo el CP de su última creación y lo había colocado sobre la mesa de trabajo para continuar analizando un poco su elegante distribución de rayos y nodos. Veamos el CP sobre la mesa:

En esas estaba, cuando a sus espaldas sintió la presencia de alguien y volteándose se encontró con la mirada escrutadora de la linda muchacha que lo había atendido anteriormente en el mostrador. Ella miraba fijamente el CP como tratando de recordar algo, rescatándolo del subconsciente. ¡Claro!-exclamó. Un destello de luz irradió de sus grandes ojos negros.

Diego, entre asombrado y asustado, la interrogó: -¿Qué pasa?, señorita-

CONTINUARA...

UN REGALO DE NAVIDAD

2006-12-01T15:37:00.000-08:00

INTROITO

Estimados lectores:

Esta no es una entrada igual a las anteriores. El Adviento nos trae el recuerdo de la Navidad y por lo tanto he decidido hacer entrega a todos ustedes de mi REGALO DE NAVIDAD. Espero que sea de su mayor agrado.

Quisiera dedicar esta entrada a Juanjo. El pertenece al grupo GOP desde hace poco tiempo, no se ni su verdadero nombre ni de que país sea, pero me motivo el diálogo en mensajes que sostuvimos en el foro del grupo. Juanjo había solicitado ayuda para entender los CPs y yo le recomendé que visitara mi página. Entre lo que amablemente contestó dice: "Desde que me interesé en esto de los CPs he pensando que Eric Madrigal es toda una eminencia en este campo"; frase que deseo contestar desde mi blog y lo hago a manera de confesión, para que no quede ninguna duda sobre la realidad.

Juanjo cree que soy una eminencia en materia de CPs a lo cual debo decir que hasta el día de hoy solo he resuelto dos CPs, uno es el Elefante de Komatsu y el otro el Kiwi de Román Diáz. ¡Nada más! A decir verdad, estoy bastante lejos de ser una eminencia. Si leen, ustedes y Juanjo, el encabezado de mi blog, entenderán su propósito. Yo estoy aprendiendo a resolver CPs e invito a los lectores que así lo deseen a aprender conmigo. Mi aprendizaje pretende ser lento, asimilando profundamente cada elemento, pero sobre todo eficiente. La claridad en las ideas bien asimiladas es la mejor herramienta para resolver el entreverado de rayos y nodos de los CPs más complejos.

Si leen mi entrada anterior se darán cuenta que por ahora solo he estudiado la base cometa. ¡Y así es en la realidad! Estoy contento porque cuando veo un CP complejo, como el lobo de Alejandro Dueñas, ya puedo distinguir, entre el bosque de sus líneas, las que corresponden a la base cometa, aunque todavía no me anime a colapsarlo. ¡Perdón!, debo reconocer que sí voy ligeramente más adelantado: ya tengo casi lista la entrada siguiente sobre la BASE DEL PEZ, pero no más allá.

Por lo tanto, no deben sentir ningún temor frente a los CPs. Ya llegaremos, lento pero eficiente, a resolver los más complejos.

Una de las consecuencias de un estudio profundo de CPS, por lo menos en mi caso, ha sido la motivación a la creación y este es el motivo de esta entrada del 1 de diciembre: mostrarles mi primer modelo de Origami , su CPMV y su base colapsada para que todos aquellos que se animen puedan desarrollar este sencillo pero elegante modelo.

Por último, la próxima entrega se realizará en los primero días de enero ya que me será muy dificil actualizar durante estas fiestas de fin de año.

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal

Asociación Costarricense de Origami

1. MI PRIMER MODELO DE ORIGAMI

¿DESEAN TOMAR TE O CAFE CONMIGO?

Cada modelo está realizado en una hoja de papel metalizada (foil-backed). La tetera en una hoja 25 cm x25 cm y tanto la taza como la taza con cucharita en una hoja de 12 cm x 12 cm. El modelo no es tridimensional aunque tiene unas como bolsas (pockets) que bien podrían contener algo de líquido.

Sobre el CP de la TETERA no desearía decir nada por ahora para que ustedes lo intenten resolver. Se muestra además la base colapsada, pero creo que ustedes muy fácilmente pueden llegar a partir de ella al modelo final. Agradecería que me indicaran en comentarios o por correo electrónico si lograron colapsar la base, cual es la base original para las referencias y si lograron obtener el modelo final. Una foto sería muy apreciada. Se pueden hacer muchas variantes a la forma final, por lo tanto, con este CP tienen mucho para disfrutar

Las tazas tienen el mismo concepto del CP de la Tetera pero con ligeras variaciones. Creo que los más avanzados en origami la podrán realizar.

Entonces, deseándoles una ¡FELIZ NAVIDAD! les dejo el CPMV de la TETERA y algunas otras fotos del modelo.

2. ¿CON AZUCAR O SIN AZUCAR?

Para finalizar, les muestro el último modelo de la serie. Está recién elaborado y no me dio tiempo de tomarle una buena fotografía pero aquí se los dejo. Está hecho tambien en papel metalizado de 15cm x 15 cm

2. AGRADECIMIENTOS

Sirva la presente entrada para agradecer y enviar un afectuoso saludo de Navidad a todas las personas que me han dado su apoyo en estos meses que me he lanzado a la aventura de este blog.
En particular deseo agradecer a José Ignacio Royo por su revisión de la parte matemática del blog.

A María José Sandí, por el esfuerzo que está realizando para tener el blog traducido al francés.
A Felipe Moreno quien me ha dado el aliciente necesario para seguir en la marcha y quien, a partir de la próxima entrada, será el revisor del guión.
A Elerth Leiva de Perú por sus dibujos e interpretaciones de los CPs.
A Román Diáz, Daniel Naranjo, Alejandro Dueñas por cederme sus CPs y fotografías para ilustrar elegantemente cada entrada hasta ahora entregada.
A Diego Quevedo por su constante enseñanza tanto el lo que se refiere a interpretación de CPs como al aprendizaje del software utilizado.
A Nícolas Terry por incluir mi blog dentro de su página Web.
A Origami Chile, Asociación Española de Origami, The Netherland Origami Asociation, a Gilad Aharoni's Origami Page y a tantos otros que tan amablemente han colocado mi link entre sus páginas.
Al grupo GOP al cual pertenezco y he puesto este blog a su servicio
A la Asociación Costarricense de Origami
Y, en fin a todos los lectores de mi blog, tanto los que han dejado sus mensajes como los completamente anónimos.

A TODOS, ¡QUE PASEN UNA FELIZ NAVIDAD!

En este blog tus comentarios son extremadamente importantes; por favor escribirlos abajo. Si no tienes una cuenta ni un password no se preocupe, toque donde dice anónimo y allí puede escribir su mensaje.
Si deseas una copia en formato pdf de este documento solicítamelo a la dirección eric@internetelfaro.com que con mucho gusto te lo enviaré.

...EN CARACTERES MATEMATICOS

2006-11-15T08:53:00.000-08:00

INTROITO

Estimados lectores:

¡Mea culpa! No he podido cumplir con el compromiso de entregar la segunda parte de la entrada anterior en una semana. Realmente la que les ofrezco ahora, es bastante compleja y me tomó mucho tiempo elaborarla. Más del que yo esperaba. Pero aquí está y espero que con ella aprendan muchas cosas sobre la resolución de CPs. De este modo completamos la entrada total con el nombre:

"LA NATURALEZA ESTA ESCRITA EN CARACTERES MATEMATICOS"

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de origami

III PARTE

MATEMATICAS EN HUANCAVELICA

1. LA BUSQUEDA DEL TESORO

Al finalizar la entrada anterior nos preguntamos sobre el cómo ubicamos cosas en el espacio. Para ello, los invito a tomar un avión virtual y dirigirnos a la ciudad de Lima en Perú. De allí tomaremos un autobús que nos llevará directamente a la pintoresca ciudad de Huancavelica enclavada en las serranías de la cordillera de los Andes.

Nuestro objetivo es encontrarnos con el origamista peruano Alejandro Dueñas quien nos ha solicitado una especial ayuda. Parece ser que hace unos días atrás, unos Apus, o dioses de las montañas, le quitaron un CP muy valioso de su propiedad y lo dejaron en algún lugar de la ciudad. Este CP, nos indica Alejandro, contiene un código secreto que le permitirá llegar a encontrar un valiosísimo tesoro.

Hemos llegado ya a Huancavelina y estamos con Alejandro en algún lugar de su ciudad; y nos pregunta: ¿Donde estará mi CP?

Dado que viniendo de la estación de autobús hemos visto el CP cerca del correo vamos a ayudar a Alejandro a encontrarlo.

Para ello sacamos de nuestra caja de herramientas el visualizador de direcciones: el sistema de ejes cartesianos.

El sistema consta de dos ejes, el eje X que va horizontalmente y el eje Y que va verticalmente. Los ejes están a 90º uno respecto del otro y se cruzan en los que se llama el origen o punto cero. Los ejes están marcados como una regla para medir y sus marcas dependen sistema de medidas que estemos usando (metros, pulgadas, etc). Las escalas pueden cambiar a conveniencia. Si nos movemos del origen a la izquierda o hacia abajo, los valores serán negativos y hacia la derecha o arriba los valores serán positivos. Al cruzarse los ejes, se forman cuatro cuadrantes tal como se ve en la figura.

Entonces, con nuestros ejes, vamos a ayudar a Alejandro. Veamos:

-"Alejandro, viniendo de la estación del autobús, hemos visto tu CP junto a la oficina de correos. Te damos la dirección: De esta esquina donde estamos conversando, camina 150 metros al norte, hasta llegar a la otra esquina del parque, de allí caminas 150 metros al oeste y llegas a la esquina de la iglesia. Luego debes ir 100 metros al norte y allí, a tu derecha encontrarás tu CP."- "Esperamos que cuando lo encuentres compartas tu tesoro con nosotros"-

Mientras Alejandro va a buscar su CP, resolvamos las siguientes interrogantes: ¿cuántos metros debe recorrer Alejandro para encontrar su CP? y, si no existiesen edificios ni otros obstáculos, ¿cuántos metros debería recorrer? La segunda pregunta nos indica algo muy importante de la geometría: la distancia más corta entre dos puntos del espacio plano es siempre una línea recta. Veámoslo en los ejes cartesianos a los que hemos quitado los cuadrantes que no nos son de utilidad:

La línea roja representa, por lo tanto, lo que camina realmente Alejandro; o sea, 150m + 150m + 100m = 400 m. La línea azul representa la distancia real que hay entre nosotros y el CP y que es la distancia más corta si no existiesen obstáculos. ¿Cuánto mide esta distancia? Para resolver esta interrogante debemos recurrir a un antiguo matemático griego: PITAGORAS y a su famoso teorema. En la siguiente figura, observamos que la línea azul forma con el eje X y la proyección del eje Y un triángulo rectángulo, que es precisamente lo que necesitamos para aplicar el teorema de Pitágoras:

He puesto los nombres de acuerdo a los conceptos matemáticos. La hipotenusa (h) corresponde al segmento opuesto al ángulo de 90º y los catetos son, por supuesto, los segmentos adyacentes (recordar que si el triángulo rectángulo es además isósceles, ambos catetos miden los mismo). Entonces el teorema de Pitágoras dice:

"EN UN TRIANGULO RECTANGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS"

Para ubicar los puntos verdes dentro del sistema de ejes cartesianos se utiliza lo que se llaman COORDENADAS CARTESIANAS; o sea, el valor en el eje X y el valor en el eje Y y se escriben con el siguiente formato (x,y). De esta manera para el lugar donde estamos hablando, las coordenadas serían (0,0) y para el lugar donde se encuentra el CP las coordenadas son (150,250). Veámoslo de una manera más clara:

Si sustituimos los valores correspondientes para X= cateto menor = 150 y Y= cateto mayor = 250, obtendremos los siguientes cálculos:

Si comparamos lo que ha tenido Alejandro que recorrer de 400 m para llegar al CP, con la distancia real de 292 m, vemos que hay un ahorro importante de distancia si tan solo pudiésemos brincarnos los objetos.

2. LAS PISTAS PARA LA BUSQUEDA

Bueno, aquí ya ha llegado Alejandro con su CP y nos pide que le ayudemos a indagar dos puntos de su CP con los cuales podría abrir la primera de las puertas que lo separan de su tesoro. Veamos el CP donde Alejandro ha marcado los puntos de su interés:

Es realmente un CP muy hermoso con simetría en la diagonal.

De la misma manera como se dan direcciones en una ciudad, podemos dar direcciones en un CP; por lo tanto vamos a ubicar nuestro CP en un sistema de ejes cartesianos y además vamos a hacer coincidir los lados con los ejes. Le añadiremos también las coordenadas de las esquinas. Veamos:

Debemos observar que se ha modificado la escala de los ejes a conveniencia, lo cual es matemáticamente correcto. Al hacer que el CP tenga un valor unitario significa que sus cálculos son los mismo para cualquier papel que estemos utilizando.

Muy bien, ahora sí tenemos todos los recursos necesarios para ayudar a Alejandro. Es claro que el CP, que en realidad es un CPMV, es bastante complejo con muchos rayos y nodos pero no debemos dejarnos confundir. Decía Santo Tomás de Aquino, que una de las formas básicas del aprendizaje consiste en dejar de lado las cosas muy complejas y fijar nuestra atención en las más fundamentales. Si aplicamos este principio y además somos buenos observadores y además leímos la entrada anterior, nos daremos cuenta de que entre el CP de Alejandro y el diseño del CP de la base cometa con que concluimos la entrada anterior, hay una íntima relación. Pongámoslos juntos para verlos:

O sea que, ayudarle a Alejandro a encontrar los puntos a y b es lo mismo que hacerlo en una base cometa como la que mostramos.

Antes de ubicar a y b quisiera sacar una conclusión importante de todo lo que hemos estado analizando:

"En un CP los rayos tienen medida y responden a la pregunta ¿cuánto mide? y los nodos tienen ubicación y responden a la pregunta ¿cuáles son las coordenadas?"

Dado que el CP de Alejandro tiene simetría en la diagonal, me gustaría que nos preguntásemos ¿cuánto mide la diagonal? Aplicando el principio de Santo Tomás, dejemos de lado las demás líneas y enfoquémonos solamente en la diagonal:

La diagonal junto con los ejes forma un triángulo rectángulo isósceles puesto que estamos utilizando un papel cuadrado. Además la diagonal es la hipotenusa. Por lo tanto, calculando con el teorema de Pitágoras tenemos:

Entonces el rayo que llamamos diagonal se inicia en (0,0), termina en (1,1) y mide:
. Si tuviéramos un papel de 20 cm entonces la diagonal se inicia en (0,0), termina en (20,20) y mide 20 x . Del mismo modo para cualquier tamaño de papel.

Ahora resolvamos el punto a.

Resolver el punto a significa, como ya lo hemos establecido, encontrar sus coordenadas. El punto a con sus ejes conforman el triángulo rectángulo A en rojo. Con respecto al eje X no hay problema pues su valor es 1, pero tenemos que determinar el valor de Y. Para ello consideremos lo siguiente:

1. El triángulo A es imagen especular del triángulo azul B, tal y como se podría comprobar doblando el papel.

2. El triángulo C es un triángulo isósceles, lo cual, también se puede comprobar doblando papel.

Por lo tanto los segmentos 1, 2, 3 marcados con negro son todos iguales. Entonces basta con saber el valor de uno de ellos para conocer el valor de los otros. Creo que la forma más fácil es calcular el segmento que coincide con la diagonal.

Entonces, dado que la diagonal mide y si doblamos el lado que mide 1 sobre ella, entonces el segmento 3 mide: -1 y los otros dos segmentos miden igual. Por lo tanto, la distancia Y mide:

Tenemos ya las coordenadas del punto a: . Con los valores de las coordenadas y aplicando el Teorema de Pitágoras obtendremos que la medida del rayo que va desde el origen al punto a es de:

¡Número realmente raro! Este rayo es bisectriz del ángulo de 45º como vimos en la entrada anterior.

Ahora averigüemos el punto b:

Para el punto b, debemos notar que sus coordenadas forman un triángulo rectángulo isósceles. Por lo tanto, los catetos miden lo mismo. Además su distancia al origen, que es la hipotenusa, tiene valor de 1 lo cual comprobamos con solo doblar el lado sobre la diagonal. Utilizando el Teorema de Pitágoras resolvemos:

Por lo tanto, las coordenadas del nodo b son: y el rayo que lo une con el origen mide 1. Con esto hemos terminado y ya le podemos dar el CP a Alejandro con los puntos localizados.

3. EL TESORO DE ALEJANDRO

"Toma, Alejandro, aquí esta tu CP con las coordenadas que nos pediste"

"¡Muchas gracias!, Ahora si podré abrir todas las puertas para llegar al tesoro."

"¿Nos mostrarás el tesoro?"

"¡Por supuesto!, ¡un momento!, ¡listo! Solo toquen donde dice BASE COLAPSADA"

BASE COLAPSADA

Bueno, lectores, como ustedes ya habrán entendido, todo lo que hemos hecho con el CP de Alejandro Dueñas, sirve para la BASE COMETA o cualquier CP que utilice sus referencias. Los puntos o nodos a y b son dos referencias que se derivan de los conceptos de la base cometa. Cada base, sea tradicional o contemporánea, tendrá sus propias referencias.

Nuestro siguiente paso será, por supuesto, tratar con la siguiente base del origami japonés: LA BASE DEL PEZ.

En este blog tus comentarios son extremadamente importantes; por favor escribirlos abajo. Si no tienes una cuenta ni un password no se preocupe, toque donde dice anónimo y allí puede escribir su mensaje.Si deseas una copia en formato pdf de este documento solicítamelo a la dirección eric@internetelfaro.com que con mucho gusto te lo enviaré.

Hasta dentro de una semana...

LA NATURALEZA ESTA ESCRITA . . .

2006-11-01T07:55:00.000-08:00

INTROITO

Estimados lectores:

Lastimosamente me fue imposible completar la entrada tal como quería entregárselas. La verdad es que en estos quince días estuve algo enfermo. Por lo tanto, he tenido que dividir la entrada en dos y me comprometo a entregar la otra parte en una semana. Esto hizo que también dividiera el título, pero se que muchos sabrán como es la continuación. Les recuerdo a los nuevos lectores que antes de leer esta entrada deben remitirse a las entradas anteriores pues todo va debidamente concatenado. Felicito a los que por su cuenta descubrieron el significado del logo. Si desean saber más solo toquen la siguiente imagen:

Espero que sigan disfrutando la lectura de mi blog y les recuerdo lo importante que es que escriban sus comentarios.

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de Origami

Nota: algunas palabras o frases aparecerán en verde.Esto significa que
son añadidos ulteriores a la publicaciónde la entrada y por sugerencia
directa de los lectores.

I PARTE

CONSTELACIONES

En la entrada anterior introducimos los conceptos de rayos y nodos o vértices. Las líneas de un CP se cruzan en la superficie del papel generando así intersecciones que se denominan nodos y las líneas que los forman quedan divididas en segmentos que irradian desde el nodo y que llamamos rayos. Me gustaría que mantengamos estos conceptos frescos en nuestra mente.

Durante las últimas décadas, el origami ha ido, poco a poco, elaborando todo un lenguaje simbólico que nos permite interpretar adecuadamente todas las acciones que debemos realizar al doblar un papel. Uno de estos simbolismos es el de la líneas. Los diagramas de origami usan varios tipos de líneas: valle, montaña, marca, rayos X, etc. En cambio, en la teoría de los CPs usamos solamente tres tipos diferentes de líneas para obtener los CPMV; y con un cambio bastante importante. Las líneas tradicionales de guiones y puntos son sustituidas por líneas de colores. En el libro ODS, Robert Lang establece que líneas coloreadas gruesas representan valles; líneas negras gruesas, representan montañas y líneas negras delgadas, representan marcas. En este blog, y solo por consideraciones de claridad didáctica utilizaremos el código de colores que aparece en el siguiente cuadro:

Dado que tendemos a olvidarnos constantemente de estas convenciones, me gustaría ofrecerles el siguiente recurso memorístico:

MICROCUENTO

SOBRE LA LLEGADA DEL ORIGAMI A AMERICA

Veíamos, con asombro, a la distancia, correr por aquel irreverente valle, el torrentoso río de aguas azules, (¡cómo el cielo que te cubre, amada América!-le dije); y en las montañas, igual que loros vestidos de jade, colgando, las tremulantes selvas indígenas con su amasijo vegetal siempreverde. Y nos preguntabamos, ¿cómo, barquito de papel, lograste no sucumbir al embate de tu alma aventurera? ¿No era mejor que te quedaras tranquilo en el mediterránico océano de tu Sphera Mundi? Pero, ¡aquí estás, desde antaño!¡Para quedarte!Y eso basta.

En homenaje a los increíbles

origamistas latinoamericanos

Espero que con esto, cuando lean este blog, nunca se les olvide el significado de los colores de las líneas: valle con azul, montaña con verde.

Ahora bien, con respecto a los nodos, vamos a incluir sobre las intersecciones, pequeños círculos de colores, también verdes y azules. Sobre el significado de estos colores trataremos más adelante. Unicamente me gustaría indicarles que cuando a un CP se le dibujan los nodos, entonces se llama VACP (de las siglas en inglés para Vertex Assigned Crease Pattern).

Veamos un ejemplo muy sencillo de CP con líneas y nodos de colores:

Fig.1: Líneas tradicionales____Fig. 2: Líneas coloreadas

Hace unos días, estaba trabajando sobre un CPMV y le había marcado todas las líneas y los nodos de colores cuando entró un amigo mío de once años llamado Kevin. Al ver el CP sobre el escritorio y sin saber lo que era, solamente exclamó: "Mirá!, parecen constelaciones". Efectivamente, los CPS, con sus rayos y nodos, parecen dibujos antiguos de hermosas constelaciones.

Ahora desearía que apagáramos las luces virtuales, y en la oscuridad dirijamos nuestra mirada al vasto y oscuro universo y allí descubramos la CONSTELACION DEL GANSO:

Fig. 3: Constelación del Ganso

Este hermoso CP fue diseñado por el joven origamista peruano Elerth Leiva y tuvo la dicha de inspirar al famoso origamista uruguayo Román Díaz a realizar una genial interpretación del CP y lograr un hermoso modelo final. Si tocamos sobre la Constelación, aparecerá el modelo terminado de Román para el CP de Elerth.

Para terminar esta parte, deseo mostrarles con todo su esplendor el VACP y la base colapsada del modelo del Ganso de Elerth.

Fig.4: VACP de la base del Ganso

Fig. 5: Base colapsada del Ganso

Si tocan el CP obtendrán la foto del ganso original, tal y como salió de la mente de Elerth y si tocan la figura de la base colapsada serán dirigidos a un documento en formato pdf con un entrevista muy buena a Elerth Leiva.

II PARTE

LA BASE COMETA O LA ESTRUCTURACIÓN DEL MISTERIO

La primera y más sencilla de las BASES TRADICIONALES del Origami Japonés es la BASE COMETA. Veamos su CP, su CPMV , su CPD y la BASE colapsada:

Fig. 6: CP _____________Fig.7: MVCP

Fig.8: CPD_____________Fig. 9: Base colapsada

La base Cometa es simétrica con respecto a la bisectriz. El CP consta de tres rayos que irradian del origen, el central es la diagonal y los otros dos intersectan dos lados del cuadrado. El CPMV muestra dos rayos en valle y una línea de marca central. Cada mitad simétrica consta de dos triángulos, un triángulo rectángulo escaleno y un triángulo obtusángulo escaleno, por lo tanto son cuatro triángulo como se ve en el CPD. La base colapsada nos recuerda los cometas (papalotes, barriletes, etc, dependiendo del país de origen del lector) y en inglés se denomina KITE. Esta figura geométrica es definida como un cuadrilátero con dos pares de lados adyacentes iguales. Veamos:

Un ejercicio interesante que tiene maravillosas consecuencias es trazar la línea que une las dos intersecciones de las líneas con los lados:

Esta línea, que es perpendicular a la diagonal, divide el triángulo obtuso en dos triángulos, un triángulo rectángulo escaleno (b) y un triángulo rectángulo isósceles (c). Lo interesante es notar que el triángulo b es la imagen especular del triángulo a; o sea, es como si el triángulo a se viese en un espejo. Muchos cálculos matemáticos en la resolución de CPs se basan en este tipo de sorprendentes relaciones que ocurren al doblar el papel.

Ahora debemos preguntarnos: ¿Qué hace, realmente, en el papel la base cometa? ¿Cuál es su objetivo? En la entrada anterior vimos que las bisectrices dividen los ángulos rectos opuestos a la mitad, o sea, en ángulos de 45º y si doblamos el papel, obtenemos dos puntas de 45º opuestas y con dos capas de papel. Sin embargo, para el origami estas puntas no son realmente muy versátiles aunque de hecho superan a las puntas del cuadrado de 90º.

El ingenio de los primeros origamistas japoneses pronto se las ideó para crear una punta que fuese más versátil. Para ello procedieron de la siguiente manera:

1. Marcaron en el papel cuadrado la bisectriz

2. Llevaron uno de los lados a reposar sobre la bisectriz. Veamos lo que ocurre:

Fig. 10: Angulo alfa

¿Cuánto mide el ángulo alfa? Para saberlo debemos percatarnos que la nueva línea formada es también una bisectriz del ángulo de 45º. Por lo tanto, el nuevo ángulo es de 45º/2 que es 22.5º. El ángulo alfa es por tanto de 45º + 22.5º = 67.5º. Además debemos observar que la figura generada es un trapecio rectángulo. Rotemos la figura y veámoslo:

Fig. 11: Trapecio rectángulo

3. Llevaron el otro lado adyacente sobre la diagonal. Veamos:

Fig. 12: Nuevo ángulo alfa

Dado que el nuevo doblez es también una bisectriz del otro ángulo de 45º, el nuevo ángulo alfa es la suma de dos ángulos de 22.5º; o sea, es un ángulo de 45º.

¡Perfecto! ¿Cuál es la conclusión? Los japoneses lograron con la base Cometa generar una punta de 45º pero centrada en la diagonal. Si observamos el CP de la base Cometa nos percatamos, entonces, que el ángulo original de 90º ha sido dividido en cuatro ángulos iguales de 22.5º:

Fig. 13: CP con ángulos de 22.5º

Para tener una mejor perspectiva de la punta generada doblemos la base cometa por la diagonal. Veamos:

Fig. 14: Base Cometa doblada en la diagonal

Hasta este punto, surge una nueva pregunta: ¿que función cumple la diagonal o bisectriz en la base Cometa? Al colapsar la base, esta línea queda solamente como una marca, por lo tanto, ¿será realmente importante? La respuesta a esta interrogante es un rotundo SI; es más, la bisectriz no solo es importante sino que es fundamental. Para probarlo, los invito a imprimir los siguientes CPs y colapsarlos. Solo uno de ellos es la base Cometa.

Fig. 15: ¿Cuál será la base cometa?

La bisectriz es en la base Cometa la respuesta a una de las interrogantes más importantes que nos hacemos al resolver CPs:

2do Acertijo

¿Cuáles son las referencias?

Tradicionalmente se habla de puntos de referencia, pero, personalmente prefiero utilizar la palabra llana REFERENCIAS pues algunas veces serán puntos en el plano, pero en otras serán líneas. ¿Qué son, entonces, las referencias? Todo el proceso de resolución de CPs se basa en saber con exactitud donde van colocadas cada una de las líneas. Aquí no existe un "más o menos por el centro". La línea pasa por el centro exactamente o no pasa por el centro. La resolución de CPs es realmente un pasatiempo de exactitud y no podría ser de otra manera: con la cantidad de dobleces en un espacio tan reducido, todo debe quedar exactamente colocado en su lugar.

Para lograr establecer la posición de las líneas es necesario que exista una referencia; por ejemplo, si nos dicen: haga una marca a la mitad de un lado y luego lleve una punta hasta esa marca, entonces, ¿me entienden? , la marca sobre el lado es una referencia.

Al realizar la base cometa, se nos indica que debemos llevar el lado sobre la diagonal. Por lo tanto, la diagonal es una referencia. Es la referencia principal y única de la base cometa. Cada CP tendrá sus propias referencias las cuales debe ser averiguadas. Para determinar referencias se requiere del mayor esfuerzo e ingenio posible; y se vale de todo: métodos netamente origámicos, métodos matemáticos, regla y compás, o una mezcla de todos. Lo importante: determinar las referencias.

Me gustaría indicar que en el procedimiento de resolución de CPs es bastante común, imprimir el CP y sobre él empezar a jugar con las líneas para ver si son valles y montañas y lograr de este modo colapsar la base. Para mi y este blog, este es solamente el principio de la resolución. El CP impreso es algo así como la herramienta básica de trabajo pero no es el edificio que debe construirse. El verdadero edificio es la base colapsada. La base colapsada, desde mi punto de vista, será debidamente construída cuando a partir de cualquier tamaño de papel la logremos obtener y para esto, es fundamental encontrar las referencias para dar la ubicación exacta de cada doblez del CP.

Volvamos al CP de la base Cometa, pero utilicemos el diseño donde aparece la perpendicular a la diagonal. Muchas veces, la base cometa sirve de paso hacia modelos más complejos y las referencias de éstos, se encuentran en ella. Por lo tanto, debemos tener bien ubicados todos sus nodos. Particularmente nos referimos a los puntos a y b en la siguiente figura:

Fig. 16: Base Cometa con nodos a y b

La determinación de estos dos nodos nos lleva directamente a adentrarnos en el mágico mundo de las matemáticas de una manera más profunda y se hace necesario que introduzcamos varios conceptos más. La pregunta principal es, ¿cómo ubicamos cosas en el espacio?

Hasta dentro de una semana...

PAPELES EN TENSION

2006-10-15T09:18:00.000-07:00

INTROITO

Estimados lectores: Agradezco profundamente todos los comentarios que realizaron con respecto a la entrada anterior. A los que van a leer este blog por primera vez les recomiendo empezar con la entrada anterior: UN PASATIEMPO DE DECISIONES. Como se habrán dado cuenta, le he cambiado el nombre al blog por EL CODIGO D'CP, esto con el fin de hacerlo más atractivo e interesante. Además le he creado un logotipo, el cual pueden ver a su derecha. El logotipo tiene un acertijo en si mismo. Agradecería me escribieran cuando lo entiendan. Por último, por supuesto que yo también desearía que las entradas fueran más seguidas pero mientras no domine todos los recursos para ilustrar adecuadamente mis ideas, debo mantenerme con entregas cada quince días. Las ideas se me agolpan en la mente y desean salir ya, para que ustedes las analicen pero hay que contenerlas y organizarlas para después entregarlas. Por ahora están en mi cuaderno físico pero ya las mostraré en mi cuaderno virtual. Algún día talvez realice entregas semanales. ¡Ya veremos! También estoy trabajando para llegar a las personas de habla inglesa.

Atentamente,

Ing. Eric Madrigal
Asociación Costarricense de Origami

Nota: algunas palabras o frases aparecerán en verde.
Esto significa que son añadidos ulteriores a la publicación
de la entrada y por sugerencia directa de los lectores.

I PARTE:

LA ECUACION:

El Tangram, ¿quién no conoce este milenario pasatiempo chino? Tomamos un cuadrado y lo dividimos en siete figuras geométricas básicas: 5 triángulos rectángulos isósceles, 1 cuadrado y 1 paralelogramo. Un instructivo con las siluetas de miles o tal vez millones de figuras nos invita a colocar esas 7 figuras geométricas en arreglos planos y obtener las siluetas. Entonces en el Tangram dividimos un cuadrado, obtenemos unas figuras geométricas y construimos siluetas:

¿Que tiene que ver esto con los CPs? Pues bastante!. En el capítulo ocho del libro Origami Design Secrets, el Dr. Robert Lang, hace un excelente estudio de lo que se denomina en origami "Tiling". Lang señala que un CP está compuesto de figuras geométricas que se ensamblan en un cuadrado, siguiendo ciertas normas básicas, tal como si fuese un mosaico. Por lo tanto, a partir de un modelo de origami se obtienen, al desdoblar, las marcas del CP; y sus intersecciones conforman figuras geométricas. Lo interesante es que todas quedan ensambladas perfectamente en un cuadrado. Por lo tanto tenemos:

Ahora me entienden el porque uso esta metáfora: que el CP es el inverso del Tangram. Claro que el Sr. Lang en su libro está hablando sobre diseño de nuevas bases para modelos de origami, pero creo que podemos generalizar. Ya sea que el modelo esté en la mente de creador o que ya esté doblado y se desdoble, la verdad es una: un CP está compuesto de múltiples figuras geométricas inmersas en un cuadrado. Por lo tanto, en el proceso de resolución de CPs una de las primeras acciones que debemos realizar es:

PRIMERA PISTA

RECONOCER LAS FIGURAS GEOMETRICAS

Para ilustrar lo anterior, recurriremos a un CP del origamista colombiano Daniel Naranjo y a las imágenes de los Tipos de Triángulos en el capítulo anterior. (Si tocamos el CP veremos el modelo final del autor)

Fig.1: CP de Daniel Naranjo

La pregunta sería : ¿cuántos triángulos y de qué tipos aparecen en el CP de Daniel? ¿Qué otras figuras geométricas podemos reconocer en él y cuantas de cada una?

Aunque a primera vista parece fácil resolver estas preguntas, les diré que no lo es. Para resolverlas tenemos que utilizar algún método. El que yo les recomiendo es un proceso de discriminación visual. Además este método me permitirá indicarles algunas conceptos básicos más en la resolución de CPs.

II PARTE:

CONTANDO FIGURAS GEOMETRICAS

Cuando observamos un CP, especialmente los más complejos, se nos presentan muchas hermosas combinaciones de figuras geométricas y si quisiéramos reconocerlas y contarlas de seguro nos sentiríamos pronto un poco confundidos. Es por ello que la primera pista nos invita a reconocer las figuras geométricas en el CP. Vamos a dar la segunda pista:

SEGUNDA PISTA

SELECCIONAR LAS FIGURAS GEOMETRICAS INCLUIDAS

ENTRE LAS LINEAS MÁS LARGAS DEL CP

Bien!, podemos ver en el CP de Daniel que las líneas más largas cortan el CP en 4 figuras geométricas básicas. Las demás líneas, normalmente más cortas, las dejaremos para después.

Si queremos contar triángulos pues ya tenemos cuatro. Este es el conteo al "Primer Nivel" que es el más importante.

El siguiente paso nos lleva a la tercera pista:

TERCERA PISTA

ENCONTRAR LAS LINEAS DE SIMETRIA DEL CP

Es muy común que un CP sea simétrico con respecto a una o varias líneas; o sea, que todo lo de un lado de la línea se repite en el otro (sobre simetrías ya analizaremos bastante en su debido momento). Por lo tanto, para contar los triángulos, podemos desentendernos de las otros mitades del CP, contar y luego multiplicar por dos. De este modo reducimos bastante el trabajo.

Al cortar en la línea de simetría se nos generan dos nuevos triángulos y multiplicando por dos tenemos cuatro triángulos. ¿Como va el conteo de triángulos? Pues, llevamos ocho. Este es el "Segundo Nivel". Veamos ambos niveles:

Fig.2: Divisiones al primer y segundo nivel

Los niveles pueden proseguir realizándose de acuerdo a conveniencias y dependen también fuertemente del CP que estemos analizando. En este blog voy a indicar solo dos niveles más y que sirvan de ilustración. Para el "Tercer Nivel" cortamos todos las figuras geométricas dentro de uno de las áreas del segundo nivel.

Tenemos ahora 20 nuevos triángulos y por 2 son cuarenta triángulos más. Total 48 triángulos.

Al cuarto nivel vamos a agrupar los triángulos, de dos en dos, luego de tres en tres, y así hasta el final. Solamente les muestro la agrupación en dos y tres de uno de los triángulos principales. Veamos los niveles 3 y 4:

Fig. 3: Divisiones al tercer y cuarto nivel

Bueno ya me canse!. Por dicha solo los primeros niveles son normalmente los importantes. A continuación les muestro una tabla con el total de todos los triángulos que encontré entre las líneas del CP de Daniel; pero les notifico que hay también, rombos, cuadrados, pentágonos, trapecios, etc que ustedes con paciencia pueden descubrir.

TABLA DE CONTEO DE TRIANGULOS

Para finalizar esta parte me gustaría mostrarles el TANGRAM INVERSO de Daniel Naranjo:

Fig. 4: CPD del Unicornio de Daniel Naranjo

!Hermoso!, ¿verdad?...

Dado que en algunos momentos utilizaremos, en este blog, este recurso para estudiar los CPs me gustaría llamar a este tipo como CPD o sea CP dividido y entendemos, dividido en sus figuras geométricas fundamentales. Dado que habrá muchas formas de dividir el CP, la división será seleccionada únicamente por concepto de conveniencia.

III PARTE

LA SERIE EQUIS

En la última entrada nos terminamos preguntando que sucederá cuando a nuestros CPs más sencillos les incorporemos una nueva línea. Lo que sucede, al fin y al cabo, es que la Primera Incertidumbre Espacial se vuelve de vital importancia. Ya veremos el porqué.

Tomemos nuestro CP de la Bisectriz y tracemos la otra Bisectriz. Con ello dividimos las cuatro esquinas del papel en ángulos de 45º cada uno; además nos aparece una intersección de ambas líneas y se forman cuatro triángulos isósceles rectos, cada uno de un cuarto del área del cuadrado original. Veamos el CP:

Fig. 5: CP Bisectrices______Fig. 6: Vértices y rayos

Este CP con forma de equis nos permite introducir dos nuevos conceptos muy importantes. El punto , la letra griega omega, en la figura 2, que corresponde a la intersección de las dos diagonales y que se ubica exactamente en el centro del papel, es un ejemplo de un VERTICE o NODO. Los vértices son puntos en el plano donde se cruzan varias líneas. Si retomamos nuestra metáfora del embrión, el punto sería el ombligo del embrión, y será un punto muy importante para este blog.

Otra forma en que se puede considerar el vértice y que personalmente preferiré en este blog, es considerarlo como un punto del cual irradian varios segmentos de línea. Estos segmentos de línea son conocidos como RAYOS. En la figura 6 hemos marcado con rojo uno de estos segmentos. Por lo tanto, el vértice mostrado divide cada diagonal en dos partes exactamente iguales generando cuatro rayos que irradian de él.

Vamos a jugar un poco con estos rayos y ya verán que cosas interesantes van a suceder. Tomemos un papel y procedamos a doblar el primer CPMV con todos los rayos en valle, tal como se muestra en la siguiente figura.

Fig. 7: CPMV con solo valles

Marquemos muy bien el valle por cada rayo. ¿Qué observamos? Correcto. El papel queda en tensión y se provoca una curvatura en cada superficie de los cuatro triángulos isósceles rectos. La orilla del papel también esta curva. Aprovecharé esta curvatura del papel para realizar varias figuras tridimensionales de origami, las cuales llamaré LA SERIE X.

Con el CPMV todos en valle les muestro las siguientes imágenes: La Madonna y La lágrima.

Fig. 8: LA MADONNA________Fig.9: LA LAGRIMA

El CP corresponde , por supuesto, a la base de la figura. Por lo tanto, no se muestran los dobleces para hacer el bloqueo final de la figura. Pero la verdad, es muy fácil!

En el siguiente CPMV los rayos se alteran entre valles y montañas. Veámoslo y procedamos a doblarlo (observar que el resultado es una diagonal en valle y la otra en montaña). Una figura más se puede generar en la Serie X: El Beso.

Fig. 10: CPMV mixto

Fig. 11: EL BESO

Por último, el siguiente CPMV muestra dos rayos adyacentes en valle y los otros dos en montaña. Como resultado les muestro dos figuras más de la Serie X: El Angel y El Benedictino.

Fig. 12: CPMV mixto

Fig. 13: EL ANGEL

Fig. 14. EL BENEDICTINO

Resumiendo, de un mismo CP hemos obtenido tres CPMV y seis figuras simples y elegantes de origami.

Entendemos ahora el problema de la PRIMERA INCERTIDUMBRE ESPACIAL. Al asignarle valles y montañas a las líneas de los CP se pueden generar varias combinaciones y los resultados son diferentes debido a las relaciones entre ellas. En CPs muy complejos tenemos múltiples vértices y muchísimos rayos y se deben tomar decisiones a cada momento sobre cuales son valles y cuales montañas. Por dicha, el origami vendrá en nuestro auxilio para darnos algunas luces sobre como proceder. ¡Ya lo verán!

Un procedimiento similar podemos realizar con las mediatrices. El CP de las dos mediatrices se muestra en la siguiente figura:

Fig. 15: CP Mediatrices

El vértice de las dos mediatrices cae también exactamente en el centro del papel y los rayos dividen el mismo en cuatro cuadrados cada uno un cuarto del área del cuadrado original. Para este CP solo mostraré un CPMV con todos los rayos en valle y una sola figura: el Murciélago.

Fig. 16: CPMV

Fig. 17 : EL MURCIELAGO

Todas las figuras obtenidas son evidentemente tridimensionales y no se pueden aplanar sin introducir nuevos dobleces. Vi un video en que el genial origamista Robert Lang marca las dos diagonales o las dos mediatrices y siguiendo las curvaturas del papel logra marcar los siguientes dobleces que forman las figuras planas multicapas. El papel parece suplicar con su curvatura la introducción de esos dobleces para así eliminar la tensión y entrar en sosiego. Esta súplica es realmente una variable física: la tensión mecánica. La tensión mecánica se define como el valor de la distribución de fuerzas por unidad de área en un cuerpo sólido. Es como cuando se jala una cuerda por ambos extremos. Como bien sabemos, el papel está compuesto por fibras vegetales y adhesivos que las compactan. Al marcar líneas sobre el papel las fibras se tensan y generan estas curvaturas. Veámoslo en la siguiente imagen para que me entiendan:

Fig. 18: Papel en tensión

Muchos CP que observamos tienen entre sus líneas el embrión de figuras planas multicapas y otros el de figuras tridimensionales. En algún momento de nuestro aprendizaje estudiaremos juntos el requisito para que una figura sea plana multicapa. Pero eso será más adelante.

Por ahora nos falta todavía bastante camino por avanzar y muchos conceptos básicos por dominar. Para aprender más aún utilizaremos las BASES TRADICIONALES del origami japonés, pero esto será en nuestra próxima entrega.

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Hasta dentro de 15 días....

UN PASATIEMPO DE DECISIONES

2006-10-01T09:42:00.000-07:00

INTROITO

Estimados lectores: cumpliendo con mi compromiso de entregas cada 15 días, aquí coloco a su consideración la segunda entrada de mi blog. Les recuerdo que son mis notas de como voy aprendiendo todo lo relacionado con resolución de CPs. Pido disculpas por los errores que cometo, especialmente relacionados con los dibujos, el manejo del lenguaje html y de las imágenes que aún estoy en proceso de dominar. ¡Cada día aprendo más!

Atentamente,

Eric Madrigal
ACRO

Nota: algunas palabras o frases aparecerán en verde.
Esto significa que son añadidos ulteriores a la publicación
de la entrada y por sugerencia directa de los lectores.

1. PRIMERA PARTE:

LOS MISTERIOS DE ROMAN

Hace 15 días les mostré dos hermosos CPs del origamista Román Díaz y les indiqué, además, que entre sus líneas estaban ocultos grandes misterios. Para comenzar a entender los CPs me gustaría mostrarles uno de esos grandes misterios. Para ello, favor tocar la imagen que dice BASE.

___

CP__________________BASE

¡Eso es! Uno de los grandes misterios ocultos entre las líneas de los CPs es el modelo final del creador (en la entrada anterior, Introducción y Definición de CP, si tocan el otro CP se les revelará el otro modelo de Román).

A decir verdad, el modelo final está allí como una mariposa en el capullo. Y, ¿por qué lo expreso de esta manera? Porque es de gran importancia que entendamos muy bien los CPs y de este modo establezcamos los debidos límites de nuestro pasatiempo.

El CP usualmente nos lleva solo hasta lo que se denomina la BASE. En la terminología del Origami, la BASE de un modelo es una etapa en la secuencia de doblado en la que se obtiene una figura con la misma cantidad, distribución y tamaño de puntas o aletas principales que el modelo final. Algunas veces esa figura se parecerá al modelo final, pero por lo general no. Por lo tanto, para adentrarnos en este maravilloso pasatiempo que es la resolución de CPs, debemos quitarnos primero el deseo de obtener con ellos el modelo final del creador. Por supuesto, que a título personal y dependiendo de las capacidades de cada persona, muchos lograrán, mediante técnicas de origami, llegar al modelo final; pero eso ya estará fuera de los alcances de este blog.

En casos muy particulares, se logra encontrar creadores de origami bastante benévolos en cuyos CPs casi que se obtiene el modelo final, pero eso no es lo más común. Por lo tanto, como señalamos anteriormente lo más usual es que el CP nos lleve hasta la base, o hasta algún punto entre la base y el modelo final; pero definitivamente muy pocas veces hasta el modelo final y definitivamente nunca hasta antes de la base.

¡Me gusta pensar en la base!. La considero como un embrión del modelo final. En el CP-embrión está todo lo necesario o estructuralmente importante (ver definición de CP en la Introducción) para obtener la figura final, ¡pero le falta siempre algo más! Le falta crecer, desarrollarse, definirse y formar los detalles, para, de esta forma, al final, nacer. Los CPs son hermosos, con sus simetrías, sus vértices, de los cuales irradian múltiples rayos, formando como estrellas y el modelo final es grandioso, con su prestancia y representatividad; pero la base, a mi parecer es fea igual que un embrión. Muchas personas viendo el CP se sienten atraídas por resolverlo y al ver el modelo final desean obtenerlo, pero solo muy pocas, relativamente, sabiendo la verdad, persisten en desgastar su mente por el puro amor al "feo" embrión.

2. SEGUNDA PARTE:

LOS CPS MAS SENCILLOS Y SUS INCERTIDUMBRES

Las dos figuras de origami, con los CPs más sencillos que existen, sirven para representar montañas, volcanes, techos, libros, puertas, y miles de cosas más. Son de una gran antigüedad y sus orígenes se pierden en la nubosidad de la historia no documentada. Mostrarlos podría parecer trivial pero, como bien nos enseña el método inductivo, las cosas simples nos ayudarán a entender las complejas. En estos dos CPs están contenidos varios conceptos fundamentales que serán ampliamente utilizados en la resolución de CPs cada vez más complejos. Veamos los CPs trazados en un papel cuadrado:

(Fig.1) CP1: Bisectriz______ (Fig.2) CP2: Mediatriz

La línea del CP1 se denomina Bisectriz o Diagonal y corta el ángulo recto, de dos esquinas opuestas, exactamente en ángulos de 45°. Las figuras a ambos lados de la bisectriz son dos triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con un área que es la mitad del área del cuadrado original (¡Ojo los profesores de primaria, esto puede servir como método visual para la enseñanza de la geometría! Este blog contendrá muchos elementos que les pueden ser de utilidad.). Veámoslo con más detalle para que quede bien claro:

(Fig. 3) Cuadrado dividido__________(Fig.4) El triángulo separado

El triángulo es rectángulo por contener un ángulo de 90º y es isósceles puesto que tiene dos lados iguales.

El reconocimiento de figuras geométricas básicas y los conceptos matemáticos que las gobiernan será una parte fundamental en el proceso de resolución de CPS. Iremos poco a poco reconociéndolas una a una.

Por ahora solamente me gustaría mostrarles, para que los recuerden, los tipos de triángulos que existen:

(Fig. 5) Tipos de Triángulos

Volviendo a los CPs más sencillos, la figura 2 muestra la Mediatriz. La mediatriz corta el lado del cuadrado en dos, generando dos rectángulos, cada uno con un área que es la mitad del área del cuadrado original.

(Fig.6) Rectángulos

Ahora, tomemos una hoja de papel cuadrada y hagamos Origami (o sea, doblar papel en Japonés). ¡Doblemos el CP1! Entonces, la primera pregunta que nos hacemos es:

ACERTIJO NO.1

¿En qué dirección lo doblamos?

He querido resaltar esta pregunta debido a su importancia fundamental. La dirección del doblez es el primero de los grandes acertijos en la resolución de CPs. Para cada línea en un CP solo hay dos opciones de doblado hacia adelante o hacia atrás; pocas, ¡pero hay que DECIDIR!. Esta ambigüedad yo la llamo la PRIMERA INCERTIDUMBRE ESPACIAL: el CP no nos da la certeza de la dirección de doblado. Sin embargo, antes de analizar con detenimiento la primera incertidumbre espacial debemos establecer algunos elementos básicos más.

Aunque relativamente poco frecuente, algunos creadores de origami nos muestran el CP con el primero de los acertijos resuelto, pues nos indican la dirección de cada doblez. En este caso el CP se denomina CPMV que significa CP CON MONTAÑAS Y VALLES ASIGNADOS. Veamos con los CPs más sencillos a que nos referimos. Vamos a dibujar los dos CPMV de la diagonal. Para ello utilizamos la notación simbólica del origami:

(Fig.7) CPMV: en valle ____ (Fig.8) CPMV: en montaña

Entonces, las figuras tres y cuatro nos indican la dirección de los dobleces, la primera en valle y la segunda en montaña. Veamos ahora los diagramas de estos CPMV:

(Fig.9) Diagrama en valle_____ (Fig.10) Diagrama en montaña

Como pueden ver, para obtener los diagramas solo añadí las flechas. Ahora se leen así: para la figura 8 "doblar en la diagonal hacia adelante" y para la figura 9: "doblar en la diagonal hacia atrás" . ¡Hagámoslo con el papel! Si el papel es de dos colores, tendremos que considerar, si queremos el color seleccionado por dentro o por fuera. Pero, por ahora no consideraremos esta variable y pensaremos que el papel es del mismo color por ambos lados.

Bien, ¡ya lo hicimos!. Como pueden observar, para el caso de una sola línea es indiferente la dirección del doblez. ¡Trivial por ahora!

Todo lo que hemos escrito hasta ahora sirve también y de la misma manera para el CP de la mediatriz. Para ambos CPs, bisectriz o mediatriz, y para ambas líneas, valle o montaña, las figuras obtenidas se muestra en los siguientes diagramas:

(Fig.11) Triángulo rectángulo isósceles __(Fig.12) Rectángulo

Hemos obtenido estas dos figuras geométricas básicas y me gustaría con ellas indicarles un concepto más en la resolución de CPs. Si consideramos el papel como el plano, entonces estas figuras son realmente tridimensionales; sin embargo, lo común en origami es decir que son planas. Por lo tanto, me gusta llamarlas FIGURAS PLANAS MULTICAPAS, para diferenciarlas del plano; pero también, para diferenciarlas de las figuras de origami que si son propiamente tridimensionales, las cuales se llaman FIGURAS 3D.

Si los CPs son como los embriones de los modelos de origami; de seguro, la bisectriz o la mediatriz serían la columna vertebral. Son líneas "estructuralmente importantes" y son, a mi parecer, las primeras referencias en resolución de CPs. Sobre referencias ya nos dedicaremos bastante más adelante. Por ahora nos preguntaremos:

¿Qué sucederá con los CPs más sencillos si les incorporamos una nueva línea? ¿Qué variables y acertijos se nos propondrán como retos? Tengamos paciencia, que andando despacio se llega largo y seguro.

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Si deseas una copia en formato pdf de este documento solicítamelo a la dirección eric@internetelfaro.com que con mucho gusto te lo enviaré

Hasta dentro de 15 días.....

INTRODUCCION Y DEFINICION DE CP

2006-09-12T07:45:00.000-07:00

Hay un grupo en la Internet dedicado al estudio de CPs. El grupo se denomina GRUPO ORIGAMI PATRONES. A este grupo pertenezco yo. Es el único grupo a nivel internacional cuyo único objetivo es éste y allí hay gente que escribe desde todo el mundo: hay de Colombia, Perú, Ecuador, Argentina, Brasil, Uruguay, Costa Rica, México, Estados Unidos, por mencionar solo algunos en América. Pero también escribe gente de España, Francia, Polonia, Ucrania, Tailandia, Israel, y muchos más. ¡Qué grupo más importante! Si quieres inscribirte nada más toca el logo:

Una de las actividades, que ha llevado a cabo el GOP en los últimos dos meses, ha sido lograr una definición de CP que sea clara, suficientemente explicativa y con un lenguaje adecuado para origamistas. Por lo tanto, para iniciar este blog, vamos a definir CP de la siguiente manera:

CP (tomado de las iniciales en inglés de "crease pattern") es un conjunto de líneas, trazadas en una hoja de papel, que indican la ubicación de los pliegues estructuralmente importantes, de una figura de origami; y que, doblados en la dirección y secuencia correcta, son suficientes para llegar a alguna de las etapas de doblado, ya sea la base o el modelo final, según sea la intención de su creador.

Esta es una definición muy profunda que toca muchísimos elementos los cuales analizaremos en su debido momento. Por ahora nos iremos a lo más básico.

Ya tengo 10 entradas diferentes escritas pero voy a aprender un poco sobre dibujar diagramas, tomar fotos digitales, etc que me permitirán ilustrar las cosas que voy aprendiendo. Agradecería profundamente que escriban sus comentarios, ya que de allí podré tener más material para reflexionar. Las entradas las publicaré cada 15 días.

Los CPs son hermosos en sí mismos. Para su deleite visual les dejo dos muestras diseñadas por el excelente origamista uruguayo Román Díaz.

¿Qué misteriosos secretos se encontrarán ocultos entre estos conjuntos de líneas llamados CPs?

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Hasta dentro de quince días.......